Магия математики
У входа в храм науки о случайном
Однажды на страницах журнала «Современник» (1836), издаваемого А.С. Пушкиным, появилась статья «О надежде», написанная князем П.Б. Козловским — дипломатом, глубоко образованным человеком. Статья начиналась с эпиграфа из Горация: "Осветить истину сквозь туман заблуждений," — и представляла собой первое в русской литературе популярное изложение, как пишет автор, философической математики, называемой исчислением вероятностей или — по-моему лучше — наукой исчисления удобосбытностей.
Старинные русские задачи
Фруктовый набор
Разносчик продал одному покупателю 10 яблок, 5 груш и 3 лимона за 1 рубль 10 копеек; другому покупателю по той же цене он продал 10 яблок, 3 груши и 1 лимон за 78 копеек; третьему покупателю он продал по той же цене 2 груши и 1 лимон за 22 копейки. Почем он продавал в отдельности яблоко, грушу и лимон?
Обобщение теоремы Пифагора
Евклид (3 век до нашей эры) – выдающийся учёный античного мира, автор знаменитых «Начал», – книги, которая на тысячелетия стала образцом изложения научных теорий и учебником, по которому изучали геометрию (и не только) много поколений.
Рассмотрим одну из теорем книги VI «Начал» Евклида, которую можно считать обобщением теоремы Пифагора. Греческий философ, комментатор Евклида, Прокл (410–485) писал, что этой форме теоремы Пифагора отдавалось предпочтение перед другими, как такой, которая правильно выражала именно суть этой теоремы.
Число 100 девятью различными цифрами
Известный советский популяризатор математики, физики и астрономии Я.И. Перельман (1882–1942) в популярной книге "Занимательная арифметика" приводит несколько, как выразился сам автор,"математических курьезов". Вот некоторые из них:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 × 9 = 100
12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100
123 – 45 – 67 + 89 = 100
24 3/6 + 75 9/18 = 100
94 + 1578/263 = 100
В каждом из них тем или иным математическим способом из девяти натуральных чисел от 1 до 9 получено число 100. Давайте и мы приобщимся к этим "курьезам", поставим задачу...
Геометрические задачи на максимум
Сравним между собой несколько различных прямоугольников, имеющих одинаковый периметр, равный, скажем, 12 см. Продолговатые низкие прямоугольники, ширина которых близка к 6 см, имеют незначительную площадь, тем меньшую, чем меньше их высота; точно так же площадь узких высоких прямоугольников тем меньше, чем эти прямоугольники уже. Сравнительно большую площадь имеют прямоугольники с некоторыми промежуточными пропорциями. Встает вопрос: какой же именно из всех прямоугольников с периметром 12 см имеет наибольшую площадь?
Такова типичная схема задачи на максимум. Приведенная задача, вероятно, самая простая и самая древняя из всех задач подобного рода. Именно поэтому на ней лучше, чем на какой-либо другой, можно разъяснить сущность задач на максимум, что мы и сделаем, прежде чем перейти к разбору того вопроса, которому, собственно, посвящена настоящая тема.
Совершенные числа
Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. Числа, имеющие много собственных делителей, назывались abundant (избыточными), а имеющие мало, – defizient (недостаточными). При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом.
Охота на дружественные числа
Первым не допускающим двусмысленного толкования документом, содержащим упоминание о дружественных числах, является «Изложение пифагорейского учения» – трактат, написанный в III веке н. э. неким Ямвлихом из Хальциса. Пифагорейская школа получила широкую известность не только благодаря пристрастию ее членов к мистике чисел, но и благодаря тому, что они высоко ценили дружбу. Ямвлих рассказывает, как однажды Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.) на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так:
"Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284."
Когда произведение наибольшее?
Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.
Рассмотрим следующую задачу: на какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через
а/2 + x и a/2 – x
Легенда о шахматной доске
Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки. Текст легенды приводится в изложении советского учёного и популяризатора физики, математики и астрономии Якова Исидоровича Перельмана (1882–1942), взятого из его замечательной книги "Живая математика".
Сангаку. Священная математика
Период Эдо (1603–1867) – это период истории Японии начавшийся с приходом к власти сёгуната Токугава и проведением им политики сакуку: закрытием всех государственных границ, прекращение всех возможных торговых и культурных связей с внешним миром, период полной изоляции Японии. Однако именно эта полная культурная изоляция привела к бурному расцвету во многих областях культуры японского народа. Именно в этом периоде появляются ярчайшие представители японской культуры: в литературе – Мацуо Басё (1644 – 1694), в живописи – Кацусика Хокусай (1760 – 1849), в математике – Секи Кова (1642 – 1708).
Период изоляции привёл также к созданию уникальной японской математической школы – васан. Васан – независимый вид математики, а точнее, математических традиций, распространенный и успешно развивавшийся в Японии в период Эдо.
Три вероятностных задачи
Если вы случайно встретите двух сестер Джонс (предполагается, что эти две сестры случайным образом выбраны из множества всех сестер Джонс), то ровно в половине случаев окажется, что обе девушки будут голубоглазыми. Сколько всего голубоглазых сестер среди сестер Джонс?
Греко-латинские квадраты Эйлера
История математики заполнена прозорливыми догадками — интуитивными гипотезами людей с большой математической интуицией. Часто эти гипотезы в течение столетий ждут своего доказательства или опровержения. Когда же, в конце концов, они появляются, то становятся математическими событиями первой величины. Об одном таком событии докладывалось в апреле 1959 года на ежегодной встрече Американского математического общества. Это опровержение известной гипотезы великого математика Леонарда Эйлера.
Теорема Штейнера – Лемуса
Существует ряд геометрических задач, которые околдовывают каждого, кто по воле случая сталкивается с ними. По-видимому, это было характерно для геометрии даже в древнее время. Одна всегда возбуждавшая интерес теорема может быть сформулирована следующим образом:
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник является равнобедренным.
Это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства. Этот факт тем более удивителен, что заменив слово "биссектрисы" на "медианы" или "высоты", получаем утверждения, доказательства которых элементарны.
Буддистский монах в фиксированной точке
Однажды утром, ровно на восходе солнца, буддистский монах начал подниматься на высокую гору. Узкая тропинка шириной всего фут или два извивалась вокруг горы, ведя к храму, стоящему на самой вершине.
Поднимаясь, монах шел по тропинке с переменной скоростью, много раз останавливался по пути, чтобы отдохнуть и съесть сушеный плод, который он нес с собой. Он достиг храма почти перед самым закатом. После нескольких дней поста и медитации, монах тронулся в обратный путь.
Трудная задача
Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868–1945) "Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского" известна многим. На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме.
Однако, при всей известности картины мало кто из видевших её вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:
| 102 + 112 + 122 + 132 + 142 |
| 365 |
Два условия простоты чисел
Часто отмечают, что замечательное равенство еπi + 1 = 0 связывает пять самых важных во всей математике чисел. Лишь немного уступает ему равенство
σ (n) + φ (n) = n · d (n),
связывающее три наиболее важные функции элементарной теории чисел, где σ (n) – сумма положительных делителей числа n, d (n) – количество положительных делителей числа n, φ (n) – функция Эйлера, равная количеству натуральных чисел m < n, взаимно простых с числом n, то есть НОД (m, n) = 1.
Теорема Наполеона, и не только
Если на сторонах треугольника построить правильные треугольники, то получим конфигурацию из четырех треугольников, которую называют треугольниками Наполеона. Окружности, описанные вокруг построенных правильных треугольников, называют окружностями Торричелли.
Именно Наполеону Бонапарту – императору Франции и великому полководцу – история приписывает изучение этой конфигурации, формулировку и доказательство утверждения, известного как теорема Наполеона.
И вновь о средних...
Известно, что для любых положительных чисел a и b верно
| 2 | ≤ √ab ≤ | a + b | , |
| 1/а + 1/b | 2 |
где первое выражение называют средним гармоническим, второе – средним геометрическим (пропорциональным), третье – средним арифметическим двух чисел.
Докажем эти неравенства, для чего воспользуемся следующими геометрическими соображениями.
Свойства и признаки окружности
Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки. Однако определить окружность можно и многими другими способами. Приведем несколько примеров.
Окружность есть геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше половины квадрата расстояния между этими точками.
Тупость и гений
Почти 190 лет тому назад, 23 февраля 1826 года состоялось первое публичное выступление Николая Ивановича Лобачевского (1792–1856) с изложением основ совершенно новой, неевклидовой геометрии. В 2014 году исполняется 222 года со дня рождения великого русского ученого.
Сегодня мы воспроизводим статью академика Александра Даниловича Александрова (1912–1999), опубликованную в «Кванте» в 1982 году и приуроченную к 190-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского.
Принцип симметрии и случайные процессы
Предположим, что несколько точек брошены случайным образом на отрезок [0; 1]. Например, пусть это точки w, x и y. Эти три точки делят наш отрезок на четыре части с длинами
х, у – х, w – y, 1 – w.
Если процедура бросания повторяется, то по-прежнему мы получаем четыре отрезка (левый, второй, третий и правый), и можно поставить вопрос о распределении длины, скажем, левого промежутка.
Гугол и Вселенная
Гигантское число 10100 американский математик Эдвард Казнер (1878 – 1955) в первой половине XX века предложил назвать гуголом. В 1938 году Казнер гулял по парку с двумя своими племянниками Милтоном и Эдвином Сироттами и обсуждал с ними большие числа. В ходе разговора зашла речь о числе со ста нулями, у которого не было собственного названия. Девятилетний Милтон, предложил назвать это число гугол (googol).
Палитра вероятностей
Математика сродни искусству, искусство математики – фразы, которые уже стали расхожими. Но если различие мнений, суждений и выводов о картине или романе – это вещь естественная, то в математике, как правило, вопрос имеет единственно верный ответ, не зависящий от чувства вкуса, воспитания или личных предпочтений каждого из нас. Выбором и поиском такого единственного ответа мы сейчас и займёмся.
Задача. На полке расставлены в один ряд 6 одинаковых баночек: 3 – с черной краской и 3 – с красной. Не глядя на наклейки, наугад снимают с полки 3 баночки. Какова вероятность, что эти баночки содержат краску одного цвета?
Созвездия простых чисел
Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Непримечательная функция
Материал, который последует далее, — всего лишь заметка, математический штрих, повод к размышлению и, возможно, вашим будущим самостоятельным изысканиям. Мы познакомимся с некоторой функцией, на первый взгляд, вполне заурядной. Затем рассмотрим уравнение, которое без ниже следующего вступления простым назвать никак нельзя.
Функция
| F (x) = | (x2 – x + 1)3 |
| x2 · (x – 1)2 |
непримечательна с виду, а каким замечательным свойством обладает...
Земля и апельсин
Задача, которая будет рассмотрена ниже, – весьма проста и понимание её решения не требует сколько-нибудь серьёзного уровня математической подготовки. И, тем не менее, присутствие этой задачи в разделе Магия математики, весьма оправдано, потому что парадоксальность вывода, к которому мы придём, и его упорное несоответствие здравому смыслу на первый взгляд просто удивительны.
Итак, вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем, и подобным же образом обтянут апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 метр. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхностей тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше – у земного шара или у апельсина?
Элементы теории множеств
Мы посвящаем эту главу предмету, близко соприкасающемуся с основами математики, не в силу философской важности этих основ, а по той причине, что крайне простые в своей сущности, не требующие никаких предварительных познаний идеи и выводы великого основоположника теории множеств Георга Кантора (1845 – 1918) являют собой образец подлинно математического стиля. Истинная математика заключается не в нагромождении искусственных вычислительных приемов, а в умении получать нетривиальные результаты путем размышления при минимуме применяемого аппарата.
Г. Кантора считают одним из создателей современной математики, которая в значительной степени основана на разработанной им теоретико-множественной основе...
Каких чисел больше – целых или четных? Где больше точек – на отрезке прямой или внутри квадрата? Из такого рода вопросов исходил Г. Кантор при построении теории множеств.
Маршруты в сети кривых
Управление городских железных дорог намерено по-новому перегруппировать маршруты, которыми оно обслуживает свою трамвайную сеть. Оно предполагает распределить эти маршруты таким образом, чтобы каждая линия обслуживалась впредь лишь одним-единственным маршрутом; при этом пассажир получает право с одним и тем же билетом менять маршруты и делать столько пересадок, сколько ему нужно, чтобы достигнуть места своего назначения. Задача заключается в том, чтобы определить наименьшее число маршрутов, необходимое для полного проведения в жизнь этого принципа.
Значения sin 18° и sin 54°
Поставим перед собой задачу найти значения синуса 18° и синуса 54°. Задание, прямо скажем, не самое сложное, но по-своему интересное. Заметим, обычно тригонометрические выводы формул для sin 18° и sin 54° опираются на формулу синуса тройного аргумента, не являющуюся обязательной к изучению в школьном курсе математики. Предлагаемый же здесь вывод в применении этой формулы не нуждается.
Бесконечность ряда простых чисел
Число 6 равно произведению двух чисел: 2 и 3. Число 7 нельзя разложить подобным образом на два сомножителя. Поэтому 7 называют простым числом. Вообще простым или первоначальным числом называется целое положительное число, которое нельзя разложить на два меньших сомножителя. 5 и 3 тоже простые числа; напротив, число 4 не простое, так как
4 = 2 · 2.
Сама двойка также является простым числом. По отношению к 1 обсуждение вопроса о возможности разложения числа на множители теряет смысл. Таким образом, первые простые числа суть
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .
С первого же взгляда видно, что ряд несколько причудлив; никакого простого закона в его строении непосредственно не обнаруживается.
Число 12. Замечательно!
Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, то мы получим 12 – замечательное число, столь же популярное у некоторых народов, как и число 10. Именно с помощью фаланг пальцев считали в Древнем Шумере, родине двенадцатеричной системы счисления. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты. Текущее состояние счёта засекалось большим пальцем, вместо загибания пяти пальцев одной руки пальцем другой, принятого в европейской цивилизации.
Двенадцатеричными дробями пользовались ещё древние римляне. Стандартной дробью была двенадцатая часть, 1/12, – унция. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время.
Число 12 в качестве основания счёта весьма удобно, ведь оно делится без остатка на 2, 3, 4 и 6, в то время как число 10 – основание десятичной системы счисления – делится нацело лишь на 2 и 5. Как удобно дробить число, когда половина, треть, четверть и шестая его части должны быть целыми числами!
Почём кило байтов?
Сегодня компьютером никого не удивишь. Для всех стали привычными такие слова, как килобайт, мегабайт, гигабайт, терабайт... Что они означают?
В современной математике есть такой раздел – теория информации. Эта теория в частности, определяет способ измерения количества информации и единицу измерения называет бит. А байт – это восемь битов. Терминами бит и байт широко пользуются программисты и специалисты по цифровой технике. У них даже есть шутливая поговорка "за один байт восемь битов дают".
Приставка же кило- всем хорошо знакома. Она означает тысячу: килограмм – тысяча граммов, километр – тысяча метров. Учёные и инженеры, имеющие дело с большими величинами, используют так же приставки мега-(миллион), гига- (миллиард), тера- (триллион) и так далее. Программисты тоже оперируют большими числами. И они используют приставки кило-, мега-, гига-, тера-, но, как ни странно, в другом значении.
Представление целых чисел с помощью числа "пи"
У хорошо известной задачи о том, как записать различные целые числа с помощью четырёх одинаковых чисел (например, четвёрок) существует масса различных разновидностей. В одном из весьма увлекательных вариантов этой задачи, предложенном Ф. Чини, для представления различных целых чисел допускается использовать только число π, знаки сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, а так же символ функции целой части от х (антье от х: [x] – наибольшее целое число, не превосходящее х).
Кроме того, можно пользоваться круглыми скобками, как в алгебре; никакие другие символы не разрешаются. Каждый символ, так же как и само число π, можно использовать любое количество раз, но чем меньше чисел π потребуется, тем лучше.
Шестьсот шестьдесят шесть
В «Войне и мире» Л.Н. Толстого есть эпизод, когда Пьер счёл «цифирный вес» Наполеона равным числу зверя – 666, подогнал написание своего имени под такой же, увидел в том знамение и решил идти убивать Бонапарта. Не поленитесь перепроверить арифметику Пьера – возможно, это подскажет причину его неудачи.
Число же и в самом деле необычное. Вот некоторые из его удивительных арифметических свойств:
- 666 является суммой квадратов первых семи простых чисел:
22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666.
Меланхолия и магический квадрат
На известной гравюре «Меланхолия» (1514 г.) немецкого художника Альбрехта Дюрера присутствует один замечательный математический объект. Это квадрат, разбитый на клетки, в которые вписаны числа. Нетрудно убедиться, что они удовлетворяют сразу нескольким условиям:
- если сложить все числа в каждой строке,
- если сложить все числа в каждом столбце,
- если сложить все числа в двух диагоналях,
то все эти суммы окажутся равны одному и тому же числу. Удивительный квадрат! Такие квадраты называются магическими.
Хотите научиться строить магические квадраты сколь угодно большого размера? Пожалуйста.
Тремя одинаковыми цифрами
Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:
999,
т.е. написать третью "сверхстепень" от 9.
Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой вселенной ничтожно по сравнению с ним.
Поставим перед собой иную задачу. Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
Два двузначных числа
Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры. Действительно,
46 · 96 = 4416 = 64 · 69.
Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - тик ток накрутка