Основные определения

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять n каких-либо точек A₁, A₂, ..., A_n и соединить их последовательно отрезками.

Многоугольник с n сторонами называют ещё n-угольником. 

Точки A₁, A₂, ..., A_n называются вершинами многоугольника, а отрезки A₁A₂, A₂А₃, ..., A_nA₁ – его сторонами.

Многоугольник разбивает плоскость на две части – ограниченную (ее можно заключить в некоторый круг) и неограниченную. Первая называется внутренней областью многоугольника, вторая – внешней областью.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная некоторым многоугольником.

Окружность, которая касается всех сторон многоугольника, называется вписанной в этот многоугольник; многоугольник, соответственно, называется описанным.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, является точкой пересечения всех биссектрис внутренних углов этого многоугольника.

Площадь описанного многоугольника:

S = pr,

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр многоугольника.

Окружность, которая содержит все вершины многоугольника, называется описанной около этого многоугольника; многоугольник, соответственно, называется вписанным.

Центр окружности, описанной около многоугольника, является точкой пересечения всех серединных перпендикуляров сторон этого многоугольника.

Выпуклые многоугольники

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

• многоугольник не имеет самопересечений и каждый его внутренний угол меньше 180°

• многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон и не проходят через другие вершины);

• многоугольник является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;

• каждая диагональ многоугольника лежит внутри него;

• любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит;

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°·(n–2):

α₁+α₂+ ... +α_n= 180°·(n–2).

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине:

α₁ + β₁=180°,

α₂ + β₂=180°,

. . .

α_n + β_n=180°.

Сумма внешних углов любого выпуклого n-угольника равна 360°:

β₁+ β₂+ ... + β_n=360°.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Количество диагоналей выпуклого n-угольника равно

½·n·(n – 3).

Правильные многоугольники

Выпуклый четырёхугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его внутренние углы равны.

Внутренний угол правильного  n-угольника 

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Каждая сторона правильного n-угольника видна из его центра под углом 2γ, где

Радиусы описанной и вписанной окружностей правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника можно определить:

• через сторону многоугольника:

• через радиус описанной окружности:

• через радиус вписанной окружности: