Предел и непрерывность функции
Предел функции y = f(x) при х → ∞
Вычисление пределов функции при х → ∞
Теоремы про непрерывность функции
Вычисление пределов функции в точке
Предел функции y = f(x) при х → ∞
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
Записывают так:
lim х→+∞ f(x) = b.
Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0. Прямая называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).
Например: lim х→+∞ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х→–∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х < –М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
Записывают так:
lim х→–∞ f(x) = b.
В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.
Например: lim х→–∞ (3 + 2х) = 3 и функция y = (3 + 2х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.
Наконец, прямая у = b может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при х→+∞, и при х→–∞. Пишут так: х→∞.
Определение.
Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех x таких, что |х| > М, выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
Записывают так:
lim х→∞ f(x) = b.
Например: lim х→∞ х2/(х2+1) = 1 и функция y = х2/(х2+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.
Вычисление пределов функции при х → ∞
Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:
Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела:
Если lim х→∞ f(x) = a, то lim х→∞ k · f(x) = k · а.
Теорема о пределе суммы:
Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ (f(x) + g(x)) = а + b.
Теорема о пределе произведения:
Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ f(x) · g(x) = а · b.
Теорема о пределе частного:
Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b и b ≠ 0, то lim х→∞ f(x) / g(x) = а / b.
Непрерывные функции
Определение.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е.
lim х→а f(x) = f(a).
Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия:
- функция y = f(x) определена в точке х = а, т.е. существует f(a);
- существует предел lim х→а f(x) функции в точке х = а;
- предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке, т.е.
lim х→а f(x) = f(a).
Другими словами верно и такое
Определение.
Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, выполняется неравенство |f(x) – f(a)| < ε.
Определение.
Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.
Теоремы про непрерывность функции
Теорема 1:
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и функции f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x) · g(x).
Теорема 2:
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а будет непрерывной также функция f(x) / g(x).
Исходя из двух последних теорем можно утверждать:
- многочлен y = a0 + a1x + . . . + anxn – непрерывная функция в любой точке а ∈ R;
- дробно-рациональная функция
| y = | a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn |
| b0 + b1x + b2x2 + . . . + bmxm |
непрерывна во всех точках числовой оси, кроме нулей знаменателя;
- функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = ax, y = logax, y = n√х, y = |x|, у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x также непрерывны во всех точках области определения.
Замечательные пределы
Замечательные пределы – термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
| lim х→ 0 | sin x | = 1. |
| x |
Следствия из первого замечательного предела:
| lim х→ 0 | tg x | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | arcsin x | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | arctg x | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | 2 · (1 – cos x) | = 1. |
| x2 |
Второй замечательный предел:
lim х→∞ (1 + 1/x)x = e или lim х→0 (1 + x)1/x = e.
Следствия из второго замечательного предела:
| lim х→ 0 | (1 + u)1/u = e, |
| lim х→ ∞ |
(1 + k/x)x = ek, |
| lim х→ 0 | ln(1 + x) | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | ex – 1 | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | ax – 1 | = 1, |
| x · ln a |
| lim х→ 0 | (1 + x)α – 1 | = 1. |
| αx |
Вычисление пределов функции в точке
Если y = f(x) непрерывна в точке х = а, то lim х→а f(x) = f(a).
Если в результате подстановки х = а при вычислении предела получаем выражение типа 0 / 0, то имеет смысл попытаться воспользоваться одним из следующих приёмов:
- попробовать разложить числитель и знаменатель дроби на множители, выполнить сокращение, а затем найти предел;
- избавиться от иррациональности в знаменателе, а затем находить предел:
- преобразовать функцию так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом или его следствием.
Смотрите также:
Арифметический корень n-й степени
Построение графиков функций геометрическими методами
Таблицы значений тригонометрических функций
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка подписчиков в ютубе