Элементы теории вероятностей
Немного теории
Вероятность – степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.
Классическое определение вероятности. Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:
P(A) = n/N.
Геометрическое определение вероятности. Несмотря на то, что классическое определение является интуитивно понятным и выведенным из практики, оно, как минимум не может быть непосредственно применено в случае, если количество равновозможных исходов бесконечно. Ярким примером бесконечного числа возможных исходов является ограниченная геометрическая область G, например, на плоскости, с площадью S. Случайно "подброшенная" "точка" с равной вероятностью может оказаться в любой точке этой области. Задача заключается в определении вероятности попадания точки в некоторую подобласть g с площадью s. В таком случае обобщая классическое определение можно прийти к геометрическому определению вероятности, как отношению s к S:
P(A) = s/S.
Если события В и С не могут произойти одновременно, то вероятность того, что произойдет одно из событий В или С, равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Если событие В не зависит от события С, то вероятность того, что произойдут оба события В и С, равна произведению вероятностей этих событий:
P(A · B) = P(A) · P(B).
При решении задач на нахождение вероятностей часто удобно использовать сведения из комбинаторики, в частности, правила суммы и произведения.
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B – n способами, то выбрать либо A, либо B можно m + n способами.
Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора другой объект В может быть выбран n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана m · n способами.
Задачи с решениями
1. Катящаяся игральная кость.
Обычная игральная кость имеет на своих гранях числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ее бросают случайным образом до тех пор, пока сумма выпавших за время бросания очков не превысит числа 12. Какая общая сумма очков будет наиболее вероятной?
Рассмотрим предпоследний бросок. После него общая сумма должна принимать одно из следующих значений: 12, 11, 10, 9, 8, 7. Если она равна 12, то общий результат будет с равной вероятностью принимать значения 13, 14, 15, 16, 17, 18. Аналогично, при сумме 11 конечный результат с равной вероятностью принимает значения 13, 14, 15, 16, 17 и так далее. Число 13 появляется как равный кандидат в каждом случае и является единственным числом такого рода. Таким образом, число 13 – наиболее вероятное.
В общем те же доводы показывают, что наиболее вероятная сумма, впервые превышающая n (n равно 6 и более), есть n+1.
Ответ: 13.
2. Легкомысленный член жюри.
В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?
Два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью p·p = p2, при этом результат голосования третьего члена жюри не существен. Если же эти судьи расходятся во мнениях, вероятность чего равна
p · (1 – p) + (1 – p) · p = 2p · (1–p),
то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на 1/2. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна
p2 + p · (1–p) = p,
что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.Ответ: оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение.
3. Непересекающиеся треугольники.
Из вершин правильного n-угольника (n>5) наугад выбираются две тройки различных точек. Какова вероятность того, что два треугольника, вершинами которых являются выбранные тройки, не пересекаются?
Разобьем все возможные пары троек вершин на Сn6 групп, собирая в одной группе те и только те пары троек, которые образуют одинаковые шестерки вершин. С одной стороны, каждая такая группа содержит столько элементов, сколькими способами можно разбить шестерку фиксированных вершин на две тройки, то есть С63 = 20 элементов. С другой стороны, существует ровно 6 способов разбить шестерку на две тройки, удовлетворяющие требуемому в задаче условию. Поэтому искомая вероятность равна 6/20 = 0,3.
Ответ: 0,3.
4. Белые и чёрные шары.
Каждая из двух урн содержит белые и чёрные шары, причём общее число шаров в обеих урнах равно 25. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Зная, что вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, равна 0,54, найдите вероятность того, что оба вынутых шара окажутся чёрными.
Пусть общее количество шаров в первой и второй урнах равно m1 и m2 соответственно (для определенности считаем, что m1 не больше m2), а количество белых шаров в этих урнах равно k1 и k2 соответственно. Тогда вероятность того, что оба вынутых шара белые, равна
( k1/m1)·( k2/m2).
Получаем соотношения:
( k1/m1)·( k2/m2) = 0,54 = 27/50,
m1 + m2 = 25.
Так как
27m1m2 = 50k1k2,
то хотя бы одно из чисел m1, m2 делится на 5. Но сумма m1 + m2 тоже делится на 5, поэтому каждое из чисел m1, m2 делится на 5. Таким образом, имеем всего две возможности:
либо m1 = 5, m2 = 20,
либо m1 = 10, m2 = 15.
В случае m1 = 5, m2 = 20 получаем k1k2 = 54, где k1 не превосходит 5, а k2 не превосходит 20. Перебрав все возможные значения ki, найдем k1=3, k2=18. Тогда в первой урне 2 черных шара, во второй тоже 2 черных шара, и вероятность вытащить два черных шара равна (2/5)·(2/20)=0,04.
Аналогично, в случае m1 = 10, m2 = 15 находим k1= 9, k2=9. Тогда в первой урне 1 черный шар, во второй – 6 черных шаров, и вероятность вытащить два черных шара равна (1/10)·(6/15) = 0,04 (в обоих случаях ответы одинаковы).
Ответ: 0,04.
5. Трёхсторонняя дуэль.
Три стрелка А, В, С решили одновременно драться на дуэли. Они расположились в вершинах равностороннего треугольника и условились о следующем: первый выстрел делает А, второй – В, третий – С и так далее по кругу; если один из стрелков выбывает, то дуэль продолжается между двумя оставшимися. Известно, что стрелок А поражает цель с вероятностью 0,3, стрелок С – с вероятностью 0,5, а стрелок В вообще никогда не промахивается. Каждый стреляет в одного из двух других или в воздух с таким расчетом, чтобы с наибольшей вероятностью выиграть дуэль. Куда должен направить свой первый выстрел стрелок А: в стрелка С, в стрелка В или в воздух?
Рассмотрим три события, которые могут наступить после первого выстрела стрелка А.
Поражен С. Тогда с вероятностью 1 стрелок А будет поражен первым же выстрелом В.
Поражен В. Тогда:
или с вероятностью 0,5 стрелок С поразит А своим первым выстрелом,
или с вероятностью (1 – 0,5) · 0,3 стрелок А поразит С своим вторым выстрелом,
или с вероятностью (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · 0,5 стрелок С поразит А своим вторым выстрелом,
или с вероятностью (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · (1 – 0,5) · 0,3 стрелок А поразит С своим третьим выстрелом и так далее.
Следовательно, вероятность для А выиграть дуэль в этом случае равна
0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + . . . =
0,15 · (1 + 0,35 + 0,352 + . . .) = 0,15 · 1/(1 – 0,35) = (15/100) · (100/65) = 3/13.
3) Никто не поражен. После этого В будет стрелять в С (как в более меткого из своих противников) и поразит его. Затем А с вероятностью 0,3 поразит В, выиграв дуэль. Таким образом, так как 0,3 > 3/13, то самой выгодной для стрелка А является ситуация, когда после его выстрела никто не поражен. Значит, он должен первый раз стрелять в воздух.Ответ: А должен первый раз стрелять в воздух.
6. Красные и зелёные мячи.
В сумке находятся 6 красных и 8 зелёных мячей. Случайным образом вынимаются 5 из них и помещаются в красную коробку, остальные 9 мячей помещаются в зелёную коробку. Какова вероятность, что количество красных мячей в зелёной коробке плюс количество зелёных мячей в красной коробке не являете простым числом?
Обозначим через G количество зелёных мячей в красной коробке. Так как мячей 6 красных и 8 зелёных, то цвета должны быть распределены по коробкам следующим образом:
Красная коробка: G зелёных, (5 – G) красных;
Зелёная коробка: (8 – G) зелёных, (G + 1) красных.
Поэтому число красных мячей в зелёной коробке плюс количество зелёных мячей в красной коробке равно (G + 1) + G = 2G + 1, – нечётному числу. Число G не превосходит 5 – общего количества мячей в красной коробке. Поэтому сумма 2G + 1 может принимать значения от 1 (G = 0) до 11 (G = 5).
Единственное нечётное составное число в этих пределах есть 9. Однако мы должны также включить и число 1, которое не является ни простым, ни составным. Итак, 2G + 1 должно быть равно 0 или 9, что возможно при G = 0 или G = 4.
Вероятность получить выборку с G = 0 (количество способов иметь 5 красных отнесённое к общему числу выборок) равна С65/С145.
Вероятность получить выборку с G = 4 (количество способов иметь 4 зелёных и 1 красный отнесённое к общему числу выборок) равна С84 С61/С145.
Вероятность искомого события найдём как сумму указанных вероятностей:
( С65 + С84 С61) / С145 = (6 + 420) / 2002 = 213 / 1001.
Ответ: 213/1001.
7. Орёл или решка?
Два игрока А и В наблюдают за мальчиком, который без остановки подбрасывает монету. Результаты подбрасываний записываются последовательно с помощью букв: на k-м месте последовательности ставится буква О или буква Р в зависимости от того, что выпадает при k-м подбрасывании – «орёл» или «решка» соответственно. Игрок А утверждает, что тройка ООО встретится в записи раньше, чем тройка ОРО. Игрок В поспорил, что произойдет обратное. Кто из игроков имеет больше шансов выиграть в этом споре?
За первой буквой О (с момента начала наблюдения за мальчиком с вероятностью 1 буква О хотя бы один раз появится) с одинаковой вероятностью, равной 1/4, может следовать одна из комбинаций:
РО, ОО, РР, ОР.
В первом случае выигрывает игрок В, во втором случае выигрывает игрок А, а если реализовался третий случай, то после этого игроки будут иметь такие же шансы, как и в начале игры. В четвертом случае с вероятностью 1/2 последует буква О и выиграет игрок В, а с вероятностью 1/2 последует буква Р, после чего игроки будут иметь такие же шансы, как и в начале игры. Таким образом, с вероятностью 1/4 выиграет А, с вероятностью1/4 + 1/4 · 1/2 = 3/8
выиграет В и с вероятностью 3/8 возникнет ситуация, когда игроки будут иметь такие же шансы, как в начале игры. Поэтому игрок В имеет больше шансов выиграть, чем игрок А.Ответ: игрок В.
8. В театре.
Восемь юношей и семь девушек независимо приобрели по одному билету в одном и том же театральном ряду, насчитывающем 15 мест. Какое среднее число смежных мест занимают в этом ряду пары?
Например, если ряд заполнен следующим образом ЮЮДДЮЮДЮДЮДЮЮДД (здесь Ю обозначает юношу, а Д - девушку), то имеется 9 пар ЮД и ДЮ. Нас интересует среднее число таких пар. Если первые два места в ряду заняты лицами разных полов, то у нас уже имеется искомая пара. Вероятность этого события равна
(8/15) · (7/14) + (7/15) · (8/14) = 8/15.
Более того, 8/15 есть и среднее число пар на первых двух местах, так как
(8/15) · 1 + (7/15) · 0 = 8/15.
Такое же рассуждение применимо к каждой паре смежных мест.
Для определения среднего числа пар молодых людей эту величину надо умножить на число смежных мест, равное 14, что дает 112/15.
Более общим образом, если есть b объектов одного рода и m другого, располагаемых случайным образом в ряд, то среднее число пар, составленных из различных объектов, равно
В нашем примере b = 8, m = 7, и ответ равен 112/15.
Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар ЮД или ДЮ для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам.
Ответ: 112/15.
9. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол?
Когда мы бросаем монету на стол, то некоторые области положения центра тяжести монеты вероятнее других, но если квадрат достаточно мал, можно считать, что распределение вероятностей равномерно. Это означает, что вероятность попадания центра в какую-либо область квадрата пропорциональна площади этой области; она равна площади области, деленной на площадь квадрата. Так как радиус монеты равен 3/8 дюйма, то для выигрыша игрока центр не должен находиться ближе, чем 3/8 дюйма от сторон квадрата
Этому ограничению отвечает квадрат со стороной 1/4 дюйма, внутри которого должен лежать центр монеты. Так как вероятности пропорциональны площадям, то вероятность выигрыша равна (1/4)2 = 1/16.
Разумеется, монета вообще может не попасть на стол, и вероятность выигрыша на самом деле еще меньше. Квадраты также могут быть уменьшены за счет утолщения разделяющих линий. Если эти линии имеют толщину и 1/16 дюйма, то выигрышной области соответствует вероятность (3/16)2 = 9/256, или меньше 1/28.
Ответ: 1/16.
10. Подбрасывание монеты.
Игрок А бросает монету n+1 раз, а игрок В – n раз. Какова вероятность того, что в итоге у игрока А выпадет больше «орлов», чем у игрока В?
Пусть у игроков А и В выпадает m и k «орлов» соответственно. Тогда искомая вероятность р события m>k равна вероятности q события
(n + 1) – m > n – k,
то есть вероятности того, что у игрока А выпадает больше «решек», чем у игрока В (так как при каждом бросании монеты «орел» и «решка» выпадают с равной вероятностью).
С другой стороны, событие m>k имеет место тогда и только тогда, когда
n – m < n – k,
то есть когда (n+1)–m не превосходит n–k (поскольку n–m и n–k – целые числа). Поэтому р=1–q, откуда имеем p=q=1/2.
Ответ: 1/2.
Задачи без решений
1. Последовательные выигрыши.
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд, по крайней мере, две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец – чемпион – отец или чемпион – отец – чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему следует выбрать сыну?
2. «Попытай счастья»
«Попытай счастья» – азартная игра, в которую часто играют в игорных домах и во время народных гуляний. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка, при этом возвращаются и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В действительности можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно.)
3. Колода карт.
Колода из n различных игральных карт, расположенных в случайном порядке, содержит три туза. Верхние карты колоды одна за другой снимаются, пока не будет снят второй туз. Доказать, что среднее число снятых карт равно (n + 1)/2.
4. Букет цветов
Букет цветов состоит из 5 ромашек и 10 васильков. Из этого букета случайным образом составляются маленькие букеты по 3 цветка в каждом. Какова вероятность того, что в каждом маленьком букетике будет по одной ромашке?
5. Остроугольный треугольник.
На окружности случайным образом выбрано три точки А, В, С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка instagram