Цилиндр

Цилиндрическая поверхность – поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению.

Прямая АВ – образующая;

кривая AKNLA – направляющая.

Бесконечный цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью.

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. 

Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями – это основания цилиндра.

Отрезок АВ – образующая;

фигуры F₁ и F₂ – основания.

У цилиндра:

• основания равны;
• образующие параллельны и равны.

Боковая поверхность всякого цилиндра равна произведению образующей на периметр перпендикулярного сечения. 

Объём всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

V = SH.

Цилиндр, у которого основания перпендикулярны образующим и являются кругами, называется прямым круговым цилиндром (часто, и далее, – просто цилиндром).

Прямой круговой цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его оснований. Ось цилиндра параллельна образующим.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник.

AO₁ – радиус цилиндра;

AB, CD – образующие цилиндра;

O₁O₂ – ось цилиндра;

AB, CD, O₁O₂ – высоты цилиндра;

ABCD – осевое сечение цилиндра.

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

S_бок = 2πRH.

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:

S_п = S_бок + 2S_осн = 2πR(H + R).

Для объёма прямого кругового цилиндра верно:

V = πR²H.

Конус

Конической поверхностью называется поверхность, образуемая движением прямой, проходящей всё время через неподвижную точку вдоль данной линии.

Эта линия называется направляющей, двигающаяся прямая, в каждом своём положении, – образующей, а неподвижная точка – вершиной.

Конусом называется тело, ограниченное одной полостью конической поверхности с замкнутой направляющей и плоскостью, пересекающей все образующие этой полости и не проходящей через вершину.

Часть этой плоскости, лежащая внутри конической поверхности, называется основанием конуса.

Высота конуса – это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания.

Часть конической поверхности, расположенная между вершиной и плоскостью основания, называется боковой поверхностью конуса.

Кривая ABCDA – направляющая;

прямая SА – образующая;

точка S – вершина;

отрезок SО – высота;

фигура F – основание конуса. 

Конус называется прямым круговым, если его направляющая – окружность, а вершина ортогонально проектируется в его центр.

В элементарной геометрии прямой круговой конус часто называют просто конусом.

Прямой круговой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. При этом вращении другой катет опишет основание конуса, а гипотенуза – боковую поверхность.

Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.

Боковая поверхность прямого кругового конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую: 

S_бок = πRl.

Полная поверхность прямого кругового конуса вычисляется по формуле:

S_п = S_бок + S_осн= πR(l + R).

Для объёма прямого кругового конуса верно:

V = (πR²H)/3.

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус, гомотетичный данному, причём центром гомотетии служит вершина конуса.

Часть конуса, ограниченная его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усечённым конусом.

Отрезок АВ – образующая усечённого конуса;

отрезок O₁O₂ – высота усечённого конуса;

отрезки АO₁ и ВO₂– радиусы оснований. 

Для усечённого конуса верно:

l² = (R – r)² +H²;

S_бок = π(R + r)l;

S_п = π(R² + r² + Rl + rl); 

V = πH(R² + Rr + r²)/3. 

Шар, части шара

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара (на рисунке – это точка О), а данное расстояние (на рисунке – R) – радиусом шара.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок (ОА), соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром (ВС). Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара (точки В и С).

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (фигура F), а сечение сферы – большой окружностью (линия f на рисунке).

Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Площадь сферы и объём шара можно найти по формулам:

S = 4πR²= πD²;

V = (4πR³)/3 = (πD³)/6,

где R – радиус, D – диаметр сферы и шара. 

Шаровой сегмент – это часть шара, которая отсекается секущей плоскостью.

Справедливы следующие формулы:

r² = H(2R – H);

S_бок = 2πRH = π(r² + H²);

S_п = π(2RH + r²)= π(2r² + H²);

V = πH²(R – H/3) = πH(H² + 3r²)/6,

где R – радиус шара, r – радиус основания и Н – высота шарового сегмента. 

Шаровой сектор – это геометрическое тело, получающееся при вращении кругового сектора около одного из его радиусов.

Для площади поверхности и объёма шарового сектора верны формулы:

S = πR(2Н + r);

V = (2πR²H)/3,

где R – радиус шара, r – радиус и Н – высота шарового сегмента, содержащегося в секторе. 

Шаровой слой – часть шара, которая содержится между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Основания шарового слоя это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.

Высота шарового слоя это расстояние между основаниями слоя.

O₁O₂ – высота шарового слоя;

АO₁ и ВO₂ – радиусы оснований шарового слоя;

ОС – радиус шара.

Площадь боковой поверхности шарового слоя, сферического пояса, зависит только от высоты слоя и радиуса шара:

S_бок = 2πRH.

Объём шарового слоя:

V = πH(H² + 3r₁² + 3r₂²)/6,

где r₁ и r₂ – радиусы оснований, Н – высота шарового слоя.