Уравнения
Немного теории
При решении и исследовании олимпиадных уравнений, помимо обычных школьных методов:
- подстановки,
- замены переменкой,
- разложения на множители и других преобразований,
иногда используются соображения монотонности:
если функция у = f (x) – строго возрастает или строго убывает, то уравнения
f (p (x)) = f ( q (x)) и p (x) = q (x)
равносильны.
При решении уравнений и систем уравнений иногда бывают полезны:
- геометрическая интерпретация,
- учёт области допустимых значений переменной или области значений функций, входящих в уравнение,
- соображения симметрии,
- идеи цикличности,
- выход на линейную комбинацию между переменными и др.
Задачи с решениями
1. Решить уравнение:
а) (1 + х + х2) (1 + х + х2 + . . . + х10) = (1 + х + х2 + . . . + х6)2.
б) (x2 – x + 1)4 – 10x2 (x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0.
в) (x + 1)63 + (x + 1)62 (x – 1) + (x + 1)61 (x – 1)2 + . . . + (x – 1)63 = 0.
а) Так как х = 1 – не корень, то умножим обе части уравнения на (х – 1)2. Получим:
(х3 – 1) (х11 – 1) = (х7 – 1)2,
х11 – 2х7 + х3 = 0,
х3 (х4 – 1)2 = 0,
х1 = 0,
х2 = –1,
х3 = +1 – посторонний корень, возникший в результате умножения на (х – 1)2.
Ответ: 0 и –1.
б) Пусть y = (x2 – x + 1)2, тогда y2 – 10x2y + 9x4 = 0. Решив это уравнение относительно y, получим:
y1 = 9x2, y2 = x2.
Итак, данное уравнение свелось к двум следующим:
(x2 – x + 1)2 = 9x2 и (x2 – x + 1)2 = x2,
то есть к четырём квадратным уравнениям:
x2 – x + 1 = 3x, x2 – x + 1 = – 3x, x2 – x + 1 = x, x2 – x + 1 = – x,
решить которые не представляет труда.
Ответ: –1, 1, 2 – √3, 2 + √3.
в) Умножив обе части уравнения на
(x + 1) – (x – 1) = 2,
получим
(x + 1)64 – (x – 1)64 = 0.
Отсюда
(x + 1) = ± (x – 1),
то есть x = 0.
Ответ: x = 0.
2. Решить уравнение:
sin x = х2 + х + 1.
Если х0 не принадлежит числовому промежутку [–1; 0], то х02 + х0 + 1 > 1 > sin х0.
Если же х0 принадлежит промежутку [–1; 0], то х02 + х0 + 1 > 0, а sin х0 < 0.
Значит, для любого действительного значения х0 имеет место sin х0 < х02 + х0 + 1, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
3. Сколько корней имеет уравнение:
(7√10 + 5√11) х2 – (10√10 + 13√11) х + 4√10 + 7√11 = 0?
Рассмотрим функцию
f (x) = (7√10 + 5√11) х2 – (10√10 + 13√11) х + 4√10 + 7√11.
Это квадратичная функция, графиком которой есть парабола, направленная ветвями вверх. Так как
f (1) = √10 – √11 < 0,
то парабола пересекает ось х в двух точках, а уравнение f (x) = 0 имеет два корня.
Ответ: два корня.
4. Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что и уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
Число x = 0 не может быть корнем уравнения
ax5 + bx4 + c = 0,
так как иначе c = 0, и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию. Разделив обе части этого уравнения на x5, получаем, что
a + b/x + c/x5 = 0.
Следовательно, если x1, x2 и x3 – различные корни уравнения ax5 + bx4 + c = 0, то 1/x1, 1/x2 и 1/x3 – различные корни уравнения
cx5 + bx + a = 0.
5. При каком положительном значении p уравнения 3x2 – 4px + 9 = 0 и x2 – 2px + 5 = 0 имеют общий корень?
Общий корень указанных уравнений должен быть и корнем уравнения
(3x2 – 4px + 9) – 3(x2 – 2px + 5) = 0,
равносильного уравнению
2px – 6 = 0.
Значит, х = 3/p. Подставив это значение х, например, во второе уравнение, получим 9/p2 = 1, откуда p = 3.
Ответ: 3.
6. Решить уравнение:
5х + 12х = 13х.
Способ 1.
Легко заметить, что, по крайней мере, одно решение это уравнение имеет, это х = 2. Докажем, что других решений нет. Запишем данное уравнение в виде:
(5/13)x + (12/13)x = 1.
Если x < 2, то
(5/13)х > (5/13)2, (12/13)х > (12/13)2
и, следовательно,
(5/13)x + (12/13)x > (5/13)2 + (12/13)2 = 1.
Аналогично, если x > 2, то
(5/13)x + (12/13)x < (5/13)2 + (12/13)2 = 1.
Итак, х = 2 – единственный корень.
Способ 2.
Записав уравнение в виде
(5/13)x + (12/13)x = 1,
видим, что имеет единственное решение х = 2. Действительно, число х = 2 удовлетворяет уравнению. С другой стороны, функция
f (х) = (5/13)x + (12/13)x
является строго убывающей, потому что является суммой двух строго убывающих функций, и, следовательно, значение 1 принимает только один раз при х = 2.
Способ 3.
Можно ввести обозначения:
5/13 = sin α, 12/13 = cos α.
Тогда уравнение
(5/13)x + (12/13)x = 1,
равносильное исходному, примет следующий вид:
(sin α)x + (cos α)x = 1,
а это уравнение имеет единственное решение х = 2.
Ответ: 2.
7. Решить уравнение:
а) 8х (3х + 1) = 4.
б) 4 lg x – 32 + x lg 4 = 0.
а) Число х = 1/3 является решением данного уравнения. Докажем, что других решений нет.
При х > – 1/3 функции
у1 (х) = 8х и у2 (х) = 3х + 1
принимают положительные значения и возрастают, следовательно, их произведение (левая часть уравнения) также является возрастающей функцией.
Поэтому на промежутке (– 1/3; + ∞) уравнение не может иметь более одного решения.
Далее, при х < – 1/3 имеем у1(х) > 0, у2(х) < 0, а значит, у1(х) · у2(х) < 0.
Поэтому на промежутке (– ∞; – 1/3] уравнение не имеет решений. Таким образом, получаем единственное решение: 1/3.
Ответ: 1/3.
б) Область допустимых значений х является х > 0 и х ≠ ±1. Имеет место
4 lg x = x lg 4 .
Для доказательства этого равенства достаточно прологарифмировать обе части равенства по основанию 10. В таком случае
4 lg x – 32 + 4 lg x = 0,
4 lg x = 16,
4 lg x = 42,
lg x = 2,
х = 100.
Ответ: 100.
8. Докажите, что уравнение :
а) х10 – х7 + х2 – х + 1 = 0 не имеет действительных корней;
б) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 для любых действительных значений a, b, c имеет хотя бы одно решение;
в) х4 + 5х3 + 6х2 – 4х – 16 = 0 имеет ровно два решения.
а) Рассмотрим функцию
f (х) = х10 – х7 + х2 – х + 1.
При х0 ∈ (– ∞; 0] имеем f (х0) > 0.
При х0 ∈ (0; 1) имеем f (х0) = (1 – х0) + (х02 – х07) + х010 > 0.
При х0 ∈ [1; + ∞) имеем f (х0) = (х010 – х07) + (х02 – х0) + 1 > 0.
Значит для любого действительного х0 верно, что f (х0) > 0 и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
б) Обозначим
f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).
Без ограничения общности можно считать, что а < b < с.
Если а = b или b = с, то f (b) = (b – c)(b – a) = 0.
Если же а < b < с, то f (b) < 0 и f (а) = (а – b)(а – c) > 0.
Так как функция f(x) непрерывна, то существует такое число х0 из промежутка (а; b), что
f(x0) = 0,
что и требовалось доказать.
Замечание. Это уравнение можно встретить в задаче с несколько иной формулировкой на странице Квадратный трёхчлен.
в) Докажем, что функция
f (x) = х4 + 5х3 + 6х2 – 4х – 16
принимает значение 0 ровно в двух точках. Для этого исследуем производную этой функции
f′(x) = 4х3 + 15х2 + 12х – 4 = (x + 2)2(4х – 1).
При х < –2 и при –2 < х < 1/4 имеет место неравенство f′(x) < 0,
при х > 1/4 – неравенство f′(x) > 0. Поэтому функция f(x) убывает па интервале (– ∞; 1/4) и возрастает на интервале (1/4; + ∞).
Поскольку
f (–10) > 0, f (10) > 0 и f (1/4) < f (0) < 0,
то на каждом из двух указанных интервалов функция f (х) однажды принимает значение 0, а уравнение f (х) = 0 имеет ровно два решения, что и требовалось доказать.
9. Сколько корней на отрезке [0, 1] имеет уравнение 8x (1 – 2x2) (8x4 – 8x2 + 1) = 1?
Заметим, что
8x4 – 8x2 + 1 = 2(2x2 – 1)2 – 1.
Сделав замену x = cos φ, исходное уравнение перепишем в виде:
8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.
Умножая обе части на sin φ, получим
sin 8φ = – sin φ,
8φ = – φ + 2kπ или 8φ = π + φ + 2kπ,
то есть
x = cos 2kπ/9 или x = cos (π/7 + 2kπ/7).
На отрезке [0, 1] лежат четыре корня уравнения:
cos 2π/9, cos 4π/9, cos π/7 и cos 3π/7
(корень x = 1 – посторонний, он возник при умножении на sin φ).
Замечание: Всего указанное уравнение 7-й степени имеет 7 корней: к указанным в решении добавляются еще
cos 2π/3 = – ½, cos 8π/9 = – cos π/9 и cos 5π/7 = – cos 2π/7.
Ответ: Четыре корня.
10. Решить уравнение:
а) х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = 0:
б) х4 – 4х3 – 1 = 0.
а) Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:
х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = (х2 + ах + b) (х2 + cх + d),
где a, b, c, d подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:
х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = х4 + (a + c) x3 + (b + d + ac) x2 + (ad + bc) x + bd.
Одно из решений системы
a + c = 8,
b + d + ac = 18,
ad + bc = 11,
bd = 2;
подбираем методом подбора:
a = 5, b = 2, c = 3, d = 1,
(находить все её решения не обязательно). Значит,
х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = (х2 + 5х + 2) (х2 + 3х + 1),
а исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
х2 + 5х + 2 = 0 и х2 + 3х + 1 = 0,
решение которых элементарно.
Ответ: х1,2 = –5 ±√17/2, х3,4 = –3 ±√5/2.
б) Введём новую переменную
t = x – 1, x = t + 1,
и получим
(t + 1)4 – 4(t + 1)3 – 1 = 0,
t4 – 6t2 – 8t – 4 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:
t4 – 6t2 – 8t – 4 = (t2 + а)2 – (bt + c)2,
где a, b, c подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:
t4 – 6t2 – 8t – 4 = t4 + (2a + b2) t2 – 2bc t + a2 – c2.
Найдём одно из решений системы
2a – b2 = –6,
bc = 4,
a2 – c2 = –4.
Решая эту систему находим:
а = –2, b = √2, с = 2√2 .
Значит,
t4 – 6t2 – 8t – 4 = (t2 – 2)2 – (√2t + 2√2)2 = (t2 – √2t – 2√2 – 2) (t2 + √2t + 2√2 – 2) = 0,
а уравнение
t4 – 6t2 – 8t – 4 = 0
равносильно совокупности уравнений:
t2 – √2t – 2√2 – 2 = 0 и t2 + √2t + 2√2 – 2 = 0,
первое из которых имеет корни:
t1,2 = √2 ± √10 + 8√2/2 ,
а второе корней не имеет.
И, наконец, x1,2 = t1,2 + 1 = √2 ± √10 + 8√2/2 + 1 = 2 + √2 ± √10 + 8√2/2 .
Ответ: x1,2 = 2 + √2 ± √10 + 8√2/2.
Задачи без решений
1. Решить уравнение 2 sin х = 5х2 + 2х + 3.
2. Решить уравнение x3 + x2 + x + 1/3 = 0.
3. Решить уравнение 4√1 – x + 4√1 + x = 4.
4. Сколько действительных корней имеет уравнение х13 = а (1 + х14) для каждого действительного а?
5. Доказать, что уравнение x – а sin x – b = 0 при 0 < a < 1, b ∈ R имеет не более одного действительного корня.
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка подписчиков вк