math4school.okis.ru

 

Степень с натуральным показателем

Степень с целым отрицательным показателем 

Степень с рациональным показателем

Степень с иррациональным показателем

Свойства степеней

Степень с натуральным показателем

Степенью действительного числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

Первой степенью числа а называется само число а:

а¹ = a.

В записи а^п = b число а называется основанием степени, число п – показателем степени, число b – значением степени.   

Вторую степень числа а называют квадратом числа а, третью степень числа а называют кубом числа а. 

Вычисление значения степени называют возведением в степень. Возведение в степень – действие третьей ступени. При вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени (возведение в степень), затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). 

 

Степень с целым отрицательным показателем 

Нулевая степень любого числа, отличного от 0, равна 1:

а⁰ = 1.

Нулевая степень нуля, то есть выражение 0⁰, не определяется.

Для числа а, отличного от 0, степень с целым отрицательным показателем определяется так:

На практике часто бывает удобно следующее соотношение:

Выражение 0^–п, не определяется. 

 

Степень с рациональным показателем

Степенью положительного числа а с рациональным показателем m/n, где m – некоторое целое число, n – натуральное, большее 2, называется корень n-й степени из а^m: 

Нецелая степень отрицательного числа, например (–8)^1/3, не имеет смысла.

 

Степень с иррациональным показателем

Любое иррациональное число λ можно представить в виде предела последовательности рациональных чисел λ₁, λ₂, λ₃, ... : 

λ = lim_n→+∞ λ_n . 

Тогда для положительного числа а существуют степени с рациональными показателями а^λ₁, а^λ₂, а^λ₃, ... В математике доказано, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности и называют степенью числа а с иррациональным показателем λ: 

а^λ = lim_n→+∞а^λ_n .

 

Свойства степеней

 Для степеней с любыми показателями справедлива следующие свойства:

a^m · aⁿ = a^{m + n},

a^m : aⁿ  = a^m / aⁿ = a^{m – n}, 

(a^m )ⁿ = a ^{m ·  n},

(a · b)^m = a^m · b^m, 

(a / b)^m = a^m / b^m. 

 

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения