math4school.okis.ru

 

 

В этом разделе сайта разбираются ошибки, наиболее часто встречающиеся в работах учащихся. Освоив материал ниже перечисленных разделов, можно избежать многих ошибок в будущем.

Для удобства ошибки разбираются по темам:

Тождественные преобразования

Решение уравнений

Решение систем уравнений

Решение неравенств

Упражнения с параметрами

Функции и свойства функций

Начала анализа

Геометрия

 

Существует мнение, что такие итоговые письменные работы, как ЕГЭ, невозможно выполнить успешно из-за слишком высоких требований. Действительно, предъявляемые требования, несколько выше требований, предъявляемых на обычном школьном уроке. И максимальных результатов могут достичь разве что победители математических олимпиад. При этом гибкая система оценивания ЕГЭ специально разработана для того, чтобы все учащиеся были оценены объективно, и те, кто хорошо знают математику в пределах школьной программы, могут претендовать на высокий результат, вполне достаточный для поступления в высшее учебное заведение.

К сожалению, при выполнении работ разного уровня, в том числе и ЕГЭ, учащиеся все чаще демонстрируют слабые знания школьного курса математики. И именно это является основной причиной «провалов». В подтверждение приведем примеры элементарных ошибок, допущенных учащимися при выполнении проверочных работ по математике.

 

L Неправильное решение	J Правильное решение
\[ \frac{x}{2x^2+3x}=2x+3 \]	\[  \frac{x}{2x^2+3x}=\frac{1}{2x+3} \]
\[  \left(1+x\right)^{3}=\left(1+x\right)(1-x+x^2) \]	\[  \left(1+x\right)^{3}=1+3x+3x^2+x^3 \]
\[  \left(x^{\sqrt{3}} \right)^{2}=x^3 \]	\[  \left(x^{\sqrt{3}} \right)^{2}=x^{2\sqrt{3}} \]
\[  \frac{4^x}{2^x}=2 \]	\[  \frac{4^x}{2^x}=\frac{2^{2x}}{2^x}=2^x \]
\[ 2^x+4^x=6^x \]	\[ 2^x+4^x=2^x+2^{2x}=2^x(1+2^x) \]
\[ 4\cdot 2^x=8^x \]	\[ 4\cdot 2^x=2^2\cdot 2^x=2^{2+x} \]
\[ \sqrt{x^6}=x^3 \]	\[ \sqrt{x^6}=\left| x^3\right| \]
\[ \sqrt{a^2+b^2}=a+b \]	\[ \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+b^2} \]
\[ 3x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3x} \]	\[ 3x^{\frac{1}{2}}=3\sqrt{x} \]
\[ {(\lg x^3)}^2=\lg x^6 \]	\[ {(\lg x^3)}^2=\lg^2 x^3 \]
\[ \lg x^2=2\lg x \]	\[ \lg x^2=2\lg \left| x\right| \]
\[ -\lg x=\lg (-x) \]	\[ -\lg x=\lg x^{-1} \]
\[ \lg^2 {3x}=\lg^2 {3}+\lg^2 {x} \]	\[ \lg^2 {3x}=\left(\lg 3+\lg x \right)^2 \]
\[ \lg^2 {x^3}=3\lg^2 {x} \]	\[ \lg^2 {x^3}=9\lg^2 {x} \]
\[ 10^{-\lg 7}=-7 \]	\[ 10^{-\lg 7}=10^{\lg 7^{-1}}=\frac{1}{7} \]
\[ \arccos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2} \]	\[ \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3} \]

 

 

Прежде чем перейти к разбору конкретных ошибок, обратите внимание на проблемы, возникающие из-за недостатка общей математической культуры.

Во-первых, многие испытывают затруднения при переводе словесного условия задания на язык математических формул, уравнений или неравенств. Например:  

L выражение "доказать, что функция f(x) неотрицательна" записывается f(x) > 0 вместо f(x) > 0;

L выражение "при каких значениях х значение функции f(x) равно 2,5" не ассоциируется с уравнением
f(x) = 2,5;

L выражение "найдите радиус шара, объем которого равен объему куба с ребром а" не записывается соотношением ⁴/₃πr³ = a³, хотя каждая из этих формул учащимся очевидно известна;

L выражение "треугольник, образованный осями координат и прямой, их пересекающей" не вызывает необходимости найти точки пересечения этой прямой с осями координат и т.д.

Во-вторых, некоторые учащиеся путаются в элементарных понятиях, например, не могут четко разделить понятия целого и натурального, положительного и неотрицательного чисел. В результате при выборе из множества решений решения, удовлетворяющего условию (например, при выборе наименьшего целого числа промежутка (a; b)), допускаются ошибки.

В-третьих, часто при отборе корней не учитывается область допустимых значений переменной и т.д.

 

При подготовке данного раздела сайта использовано учебное пособие "Математика. Репетитор" Будная Е.С., Будная С.Н. (Харьков, "Факт", 2008)