Теория вероятностей
Классическое определение вероятности
Теорема умножения вероятностей
Статистическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности
Основные понятия
Событие — это явление, про которое можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённых условиях.
События обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, ... .
Любое событие происходит в следствии испытания (эксперимента, опыта). Испытание — это условия, в результате которых происходит или не происходит событие.
► Например, процесс подбрасывания монеты, выстрел с намерением поразить цель представляют собой испытания. Появление загаданной стороны монеты, попадание в цель в результате выстрела — события. ◄
События делят на случайные, достоверные и невозможные.
Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания.
Достоверным называют событие, которое в результате данного испытания произойдёт обязательно. Будем обозначать E.
Невозможным называется событие, которое в результате данного испытания не может произойти. Часто обозначают ∅.
► Например, рассмотрим испытание состоящее в одном подбрасывании игральной кости (кубика) и следующие три события:
А — выпадет чётное число очков (случайное событие);
В — выпадет натуральное число (достоверное событие);
С — выпадет число 10 (невозможное событие). ◄
Теория вероятностей — раздел математики, который изучает закономерности случайных событий.
Равновозможные события — события, каждое из которых по объективным причинам не имеет никаких преимуществ произойти чаще чем другое при многоразовых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.
Несовместные (несовместимые) события — это такие несколько событий, никакие два из которых не могут произойти в результате одного испытания. В противном случае события называются совместными (совместимыми).
Полной группой (системой) событий называется множество таких событий, что в результате каждого испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
Если полная группа состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и А.
Если события образуют полную группу событий, являются несовместными и равновозможными, то говорят, что они образовывают пространство элементарных событий.
► Например.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — дамы, В — короля, С — туза, — это три равновозможные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — карты красной масти — несовместные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — тройки — совместные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты червовой масти, В — карта бубновой масти, С— карты пиковой или трефовой масти — полная группа событий. События А, В, С не образовывают пространство элементарных событий, так как А и С, В и С не являются равновозможными.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — четырёх карт, среди которых хотя бы одна является тузом, А — четырёх карт, среди которых нет ни одного туза — противоположные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: A1 — туза, A2 — двойки, A3 — тройки, ... , A12 — дамы, A13 — короля — пространство элементарных событий. ◄
Классическое определение вероятности
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события А, называется вероятностью этого события и обозначается P(А).
Классическое определение вероятности
Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, то есть $$P(A)=\frac{m}{n}.$$
► Например, вероятность того, что при подбрасывании двух монет выпадут два герба, равна 1/4, так как множество всех равновозможных несовместных исходов состоит из 4 элементов:
A1 — выпали два герба;
A2 — выпали герб и число;
A3 — выпали число и герб;
A4 — выпали два числа,
и только один исход, A1, благоприятствует рассматриваемому событию. ◄
Из классического определениям вероятности вытекают следующие элементарные свойства:
1. Вероятность любого события S есть неотрицательное число, не превосходящее единицы $$0\leqslant P(S)\leqslant 1.$$
2. Вероятность случайного события А больше нуля, но меньше единицы$$ 0 < P(A) < 1. $$
3. Вероятность достоверного события равна единице $$P(E) = 1.$$
4. Вероятность невозможного события равна нулю $$P(\varnothing) = 0.$$
Операции над событиями
 | Суммой двух событий A и B называется событие C, которое заключается в том, что произойдёт или событие A, или событие B, или события A и B одновременно. Обозначается так$$C=A+B$$или$$C=A \cup B$$Аналогично определяется сумма нескольких событий. Обозначения в этом случае:$$C=A_1+A_2~+~...~+~A_n$$или$$C=A_1 \cup A_2 ~\cup~ ... ~\cup~ A_n=\bigcup_{i=1}^{n}A_i$$ |
 | Произведением двух событий A и B называется событие C, которое заключается в том, что произойдёт и событие A, и событие B одновременно. Обозначается так$$C=A\cdot B$$или$$C=A \cap B$$Аналогично определяется произведение нескольких событий. Обозначения в этом случае:$$C=A_1\cdot A_2~\cdot~ ...~\cdot~ A_n$$или$$C=A_1 \cap A_2~ \cap~ ... ~\cap~ A_n=\bigcap_{i=1}^{n}A_i$$ |
Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:$$P(A_1+A_2~+~...~+~A_n)=P(A_1)+P(A_2)~+~...~+~P(A_n)$$или$$P\left (\sum_{i=1}^{n}A_i \right ) = \sum_{i=1}^{n}P\left (A_i \right ).$$
► Например, если стрелок стреляет в мишень, которая разделена на две области, и вероятность попадания в первую область равна 0,45, а во вторую — 0,35, то вероятность попадания в мишень составляет 0,45 + 0,35 = 0,8. ◄
Справедливы следующие следствия:
- Если события А1, А2, ... , Аn образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
- Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
 | В случае, когда событий два и они совместны, вероятность суммы этих событий вычисляется по формуле:$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B).$$В справедливости этой формулы можно легко убедиться, рассмотрев рисунок слева. |
Теорема умножения вероятностей
Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:$$P(A_1\cdot A_2~\cdot~...~\cdot~A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2)~\cdot~...~\cdot~P(A_n)$$или$$P\left (\prod_{i=1}^{n}A_i \right ) = \prod_{i=1}^{n}P\left (A_i \right ).$$
► Например, если два стрелка одновременно и независимо друг от друга стреляют в мишень, а вероятность попадания в мишень соответственно равна 0,8 и 0,75, то вероятность попадания в цель обоими стрелками составляет 0,8 · 0,75 = 0,6. ◄
Схема Бернулли
Взаимно независимыми называются такие испытания, исход каждого из которых не зависит от результатов остальных, как уже проведённых, так и тех, которые только предстоит провести.
► Например, взаимно независимыми испытаниями можно считать:
многократные извлечения из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки и усталости от многократной стрельбы не учитываются). ◄
Схема Бернулли:
проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти или не произойти. Вероятность того, что случайное событие A произойдёт постоянна в каждом испытании и равна p, а вероятность того, что не произойдёт, — q = 1 – p. Нужно найти вероятность Pm,n того, что событие A настанет m раз в этих n испытаниях.
Искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:$$P_{m,n}=C_{n}^{m}p^mq^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\cdot p^mq^{n-m}.$$
► Например, вычислим вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не больше трех дочерей.
Будем полагать вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми. Рассмотрим события:
A — в семье не более трёх дочерей;
A0 — в семье нет дочерей;
A1 — в семье одна дочь;
A2 — в семье две дочери;
A3 — в семье три дочери.
Вероятность рождения девочки p = 1/2, мальчика q = 1/2. По формуле Бернулли определим вероятность каждого из событий:
$$P(A_0)=P_{0,5}=C_{5}^{0}p^0q^{5}=\frac{5!}{0!\cdot 5!}\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^0\cdot\left (\frac{1}{2} \right )^5=\frac{120\cdot 1\cdot 1}{1\cdot120\cdot 1\cdot 32}=\frac{1}{32};$$$$P(A_1)=P_{1,5}=C_{5}^{1}p^1q^{4}=\frac{5!}{1!\cdot 4!}\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^1\cdot\left (\frac{1}{2} \right )^4=\frac{120\cdot 1\cdot 1}{1\cdot24\cdot 2\cdot 16}=\frac{5}{32};~$$$$P(A_2)=P_{2,5}=C_{5}^{2}p^2q^{3}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^2\cdot\left (\frac{1}{2} \right )^3=\frac{120\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 6\cdot 4\cdot 8}=\frac{10}{32};~~~~$$$$P(A_3)=P_{3,5}=C_{5}^{3}p^3q^{2}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^3\cdot\left (\frac{1}{2} \right )^2=\frac{120\cdot 1\cdot 1}{6\cdot 2\cdot 8\cdot 4}=\frac{10}{32}.~~~~$$Так как события A0, A1, A2, A3 несовместны, то для нахождения вероятности события A воспользуемся теоремой о сумме вероятностей:$$P(A)=P(A_0+A_1+A_2+A_3)=P(A_0)+P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\\=\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{10}{32}+\frac{10}{32}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16}.$$
◄
Статистическое определение вероятности
Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:$$W(A)=\frac{m}{n},$$где m — число появлений события А, n — общее число проведённых испытаний.
Заметим, что классическое определение вероятности позволяет вычислить вероятность случайного события до проведения испытания и даже без него, а относительная частота считается только в результате серии испытаний.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.
Статистическое определение вероятности
Статистической вероятностью события A называется предел, к которому стремится относительная частота W(A) события A при неограниченном увеличении числа испытаний, то есть $$P(A)=\lim_{n\rightarrow \infty}W(A)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{m}{n}.$$
► Например, опыт с многократным подбрасыванием монеты осуществляли многие естествоиспытатели. Жорж-Луи Леклерк де Бюффон (1707–1788) и Карл Пирсон (1857–1936) одни из них. Вот результаты их экспериментов:
| опыты | количество подбрасываний монеты | количество выпадений герба | относительная частота |
| опыт Бюффона | 4 040 | 2 048 | 0,5 069 |
| 1-й опыт К. Пирсона | 12 000 | 6 019 | 0,5 016 |
| 2-й опыт К. Пирсона | 24 000 | 12 012 | 0,5 005 |
Из приведенной таблицы видно, что относительные частоты появления герба мало отличаются от числа 0,5, причем при увеличении числа опытов n отклонение частоты W(A) от классической вероятности 0,5 только уменьшается и стремиться к нулю. ◄
Закон больших чисел
Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Простейшая из них — устойчивость частоты — лежит в основе всех приложений теории вероятностей к практике. Общий смысл подобных закономерностей в следующем.
Представим, что производится большая серия однотипных испытаний. Исход каждого отдельного испытания является случайным и непредсказуемым. Однако, не смотря на это, средний результат всей серии испытаний утрачивает случайный характер и становится закономерным.
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определённым постоянным. Одной из этих теорем является
Теорема Бернулли
Если в серии испытаний вероятность некоторого события A остаётся каждый раз постоянной, то при достаточно большом количестве испытаний частота появления события W(A) отличается от его вероятности P(A) на величину меньшую сколь угодно малого положительного числа:$$|W(A)-P(A)|<\varepsilon.$$
► Например, по современным представлениям, газы состоят из отдельных частиц — молекул, которые находятся в хаотическом движении, и нельзя точно сказать, где в данный момент находится и с какой скоростью движется та или иная молекула. Однако, наблюдения показывают, что суммарное действие молекул, например давление газа на стенку сосуда, проявляется с поразительным постоянством. Оно определяется числом ударов и силой каждого из них. Хотя и первое, и второе являются делом случая, приборы не улавливают колебаний давления газа, находящегося в нормальных условиях. Это объясняется тем, что благодаря огромному числу молекул даже в самых небольших объёмах изменение давления на заметную величину практически невозможно. Следовательно, физический закон, утверждающий постоянство давления газа, является проявлением закона больших чисел. ◄
Геометрическое определение вероятности
Классическое определение вероятности имеет свои ограничения к применению. Его не получится использовать в случаях, когда приходится иметь дело с бесконечным числом возможных исходов испытания. К таким случаям относится например задача Бюффона:
На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии R. На плоскость наудачу брошена игла длины r < R. Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?
Для решения подобных задач используют следующие геометрические соображения. Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы — это отдельные точки области G, любое событие — это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G "равноправны" и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.
Геометрическое определение вероятности
Геометрическая вероятность события А определяется отношением:$$P(A)=\frac{mes (A)}{mes(G)},$$где mes(A) — геометрическая мера (длина, площадь или объём) исходов, благоприятствующих событию А;
mes(G) — геометрическая мера (длина, площадь или объём) всего пространства элементарных исходов.
► Например. На окружности случайным образом выбраны три точки A, B, C. Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?
 (a) |  (b) |  (c) |
Пусть D — событие, заключающееся в том, что треугольник ABC остроугольный.
Зафиксируем точку A и введём обозначения, как показано на рисунке (а). Так как угол γ однозначно определяется парой углов α и β, то пространство всех исходов G и пространство благоприятных исходов D можно задать парами (α; β), которые удовлетворяют определённым требованиям.$$G=\left \{ (\alpha ;~\beta )~|~0<\alpha <2\pi ,~0<\beta <2\pi ,~0<2\pi -(\alpha +\beta) <2\pi \right \}=\\~=\left \{ (\alpha ;~\beta )~|~0<\alpha <2\pi ,~0<\beta <2\pi ,~\alpha +\beta > 0, ~\alpha +\beta < 2\pi \right \}.$$Так как α + β < 2π, то множество всех возможных исходов (α; β) находится в закрашенном треугольнике на рисунке (b) и mes(G) равна его площади:$$mes(G)=\frac{2\pi \cdot 2\pi }{2}=2\pi ^2.$$
Аналогично,$$D=\left \{ (\alpha ;~\beta )~|~0<\alpha <\pi ,~0<\beta <\pi ,~0<2\pi -(\alpha +\beta) <\pi \right \}=\\~~~~~~~~=\left \{ (\alpha ;~\beta )~|~0<\alpha <\pi ,~0<\beta <\pi ,~\alpha +\beta > \pi, ~\alpha +\beta < 2\pi \right \}.~~~$$Получили, что множество всех пар (α; β) благоприятствующих событию D расположено внутри более тёмного треугольника на рисунке (с) и mes(D) равна его площади:$$mes(D)=\frac{\pi \cdot \pi }{2}=\frac{\pi ^2}{2}.$$Согласно геометрическому определению вероятности$$P(D)=\frac{mes (D)}{mes(G)}=\frac{\frac{\pi ^2}{2}}{2\pi ^2}=\frac{1}{4}.$$
Ответ: 1/4 . ◄
Смотрите также:
Арифметический корень n-й степени
Построение графиков функций геометрическими методами
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Таблицы значений тригонометрических функций
Предел и непрерывность функции
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - тик ток накрутка