Цифры и десятичная система счисления
Немного теории
В задачах, где речь идет о цифрах в десятичной записи натурального числа
A = an10n + an–110n–1 + . . . + a110 + a0
(эта запись иногда обозначается через 
) используются разнообразные соображения: делимость целых чисел, алгебраические преобразования, оценки. В частности, полезен признак делимости на 3 и на 9, а также следующее его уточнение: число А дает при делении на 9 (и на 3) тот же остаток, что и сумма его цифр. Разность
А – (an + an–1 + . . . + a1 + a0) = an(10n –1) + an–1(10n–1 –1) + . . . + a1(10 –1)
очевидно, делится на 9 (и на 3).
Иногда оказывается полезной запись натурального числа А в системе счисления с основанием q:
A = anqn + an–1qn–1 + . . . + a1q + a0,
где целые положительные ai < q – «цифры» этой системы счисления.
Задачи с решениями
1. Сколько существует целых положительных:
а) двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;
б) двузначных чисел, цифры которых расположены в невозрастающем порядке;
в) восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;
г) чисел, меньших 1000, которые записываются различными цифрами;
д) трёхзначных чисел, цифры которых расположены в возрастающем порядке?
а) Двузначных чисел 90. Числа 11, 22, … , 99 отбрасываем. Среди оставшихся 81 чисел присутствуют такие 9 чисел, это 10, 20, … , 90, которые нам подходят, но которые при перестановке местами цифр перестают быть двузначными. Запомним эти 9 чисел и вычтем из 81. Оставшиеся 72 числа записываются различными, отличными от 0 цифрами, и половина из них имеет цифры, расположенные в убывающем порядке. Количество искомых чисел: 36+9=45.
Ответ: 45.
б) К таким числам относятся числа, цифры которых записаны в убывающем порядке, и числа, обе цифры которых одинаковые. Первых, как мы установили выше, 45, вторых – 9. Количество искомых чисел: 45+9=54.
Ответ: 54.
в) Выпишем в ряд все 10 цифр в убывающем порядке. Если в этом ряде вычеркнуть какие-либо две цифры, то получим восьмизначное число, цифры которого идут в убывающем порядке. Этому числу соответствует двузначное число, образованное вычеркнутыми цифрами. Таким образом, между элементами множества двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, и элементами множества восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому и тех и других равное количество, по 45.
Ответ: 45.
г) I способ. Положительных целых однозначных чисел 9, двузначных, записанных разными цифрами, как установлено ранее, – 81. Определим количество трёхзначных положительных целых чисел записанных различными цифрами. Если к двузначному числу приписать в конце цифру, ранее не использованную в его записи, то получим трёхзначное число с разными цифрами. Одно двузначное может дать, таким образом, восемь трёхзначных. Всего же таких двузначных чисел – 81. Значит, искомое количество трёхзначных чисел, записанных разными цифрами, равно 81·8=648. Количество искомых чисел: 9+81+648=738.
II способ. Подсчитаем количество чисел, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется, и вычтем его из 999. Среди однозначных чисел таких нет, среди двузначных их 9 – 11, 22, … , 99. Чисел с тремя одинаковыми цифрами тоже 9 – 111, 222, … , 999. Учтём сразу ещё 9 чисел – 100, 200, ... , 900. Найдём количество трёхзначных чисел с двумя повторяющимися ненулевыми цифрами, для чего попробуем их построить. Из числа вида kk можно получить нужное нам трёхзначное, если:
приписать перед kk любую цифру, кроме 0 и k – 8 способов;
приписать между k и k любую цифру, кроме k – 9 способов;
приписать после kk любую цифру, кроме k – 9 способов.
Так как k принимает девять значений, то из kk получим 9·(8+9+9)=234 чисел. Таким образом, чисел меньших 1000, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется: 9+9+9+234=261. Количество искомых чисел: 999–261=738.
Ответ: 738.
д) Отметим сразу очевидное, в таких числах отсутствует цифра 0. Вычтем из 648 трёхзначных чисел, которые записываются различными цифрами те, которые имеют 0. Выше отмечалось, что существует 72 числа, которые записываются различными, отличными от 0 цифрами. Каждое из этих чисел даст трёхзначное число с цифрой 0 после записи 0 между его цифрами или в конце числа. Таким образом, существует 648–72·2=504 трёхзначных числа, в записи каждого из которых используются три различных числа, отличных от 0.
Так как из трёх различных, не равных 0 цифр можно записать шесть различных трёхзначных чисел, только в одном из которых цифры расположены по возрастанию, то количество искомых чисел равно шестой части от 504, а именно: 84
Ответ: 84.
2. Какова сумма всех цифр, используемых при записи всех чисел, первое из которых единица, а последнее миллиард?
Добавляя ноль, мы можем образовать полмиллиарда пар чисел:
(0; 999999999), (1; 999999998), (2; 999999997), . . . , (499999998; 500000001), (499999999; 500000000).
Сумма цифр в каждой паре равна 9 · 9 = 81. Если добавить 1 в сумму цифр для неучтённого при этом числа 1 000 000 000, то мы получаем сумму совсем просто:
500 000 000 · 81 + 1 = 40 500 000 001.
Ответ: 40 500 000 001.
3. Докажите, что число 11…1, записанное 2013 единицами, делится на 37 .
Число, состоящее из 2013 единиц, можно записать следующим образом:
111·102010 + 111·102007 + . . . +111·103 + 111 = 111·(102010 + 102007 + . . . + 103 + 1).
Так как 111 кратно 37, то и всё число кратно 37.
4. Докажите, что 
Верны следующие два равенства:
Поэтому
Следовательно,
5. Докажите, что:
а) число 11...1211...1, состоящее из 100 единиц слева и 100 единиц справа от единственной двойки, является составным;
б) число 11...1122…22, состоящее из 100 единиц и 100 двоек есть произведение двух последовательных целых чисел.
а) Действительно,
Откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.
б) Действительно,
что и требовалось доказать.
6. Можно ли все десятизначные числа, записываемые при помощи 1 и 2, разбить на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел из одной группы содержала в своей десятичной записи не менее двух троек?
Поместим в одну группу числа, в записи которых чётное число единиц, в другую – числа с нечётным числом единиц. Если А и В – два числа из одной группы, то, поскольку это разные числа, в некотором разряде у них стоят разные цифры – 1 и 2, сумма которых даёт одну тройку. Но количество единиц в обоих числах имеет одинаковую чётность, поэтому не могут совпадать цифры в остальных, то есть найдется еще разряд с разными цифрами, сумма которых даст вторую тройку.
Ответ: Можно.
7. В некотором натуральном числе произвольно переставлены цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не равна 99…9 (число содержит 2013 девяток).
Очевидно, что исходное число имеет 2013 цифр. Пусть а1, а2, . . . , а2013 – цифры исходного числа, b1, b2, . . . , b2013 – цифры изменённого числа. Предположим, что
а1 + b1 = 9,
а2 + b2 = 9,
. . .
а2013 + b2013 = 9.
Так как сумма цифр исходного и изменённого числа одна и та же, то
2 · (а1 + а2 + . . . + а2013) = 9 · 2013,
чего не может быть, так как в правой и левой частях равенства стоят числа разной четности.
8. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанные в произвольном порядке. Доказать, что ни одно из этих чисел не делится ни на какое другое.
Пусть число m1, составленное из данных чисел, делится на число m2 (m1 > m2). Тогда и m1 – m2 делится на m2. Так как разность двух чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9, числа 9 и m2 взаимно просты, то m1 – m2 делится на 9m2. Но 9m2 – число восьмизначное. Полученное противоречие, опровергает сделанное предположение о том, что m1 делится на m2. Доказательство окончено.
9. Каковы три последние цифры числа 79999?
Заметим, что 74 = 2401. Поэтому
74n = 2401n = (1 + 2400)n = 1 + n·2400 + А,
где все члены этого биномиального разложения после второго, объединённые нами в одном слагаемом А, оканчиваются по крайней мере на четыре нуля и не влияют на последние три цифры результата. Эти последние определяются из равенства
1 + n·2400 = 24n·100 + 1.
Если m – последняя цифра числа 24n, то имеем
24n·100 + 1 = ...m·100 + 1 = ...m01,
то есть 74n оканчивается на m01.
При n = 2499 число 24n оканчивается на 6 и мы видим, что 74n = 79996 оканчивается на 601. Так как 73 = 343, то мы получаем
79999 = 79996 · 73 = ...601·343 = ...143.
143 и есть искомые последние три цифры, которые мы получаем непосредственным умножением.
Ответ: 79999 = ...143.
10. Докажите, что существует число, делящееся на 51000 и не содержащее в своей записи ни одного нуля.
Число 51000 оканчивается на 5. Пусть в десятичной записи этого числа на k-м месте, считая от конца, стоит 0, а все следующие цифры отличны от 0. Прибавим к этому числу 51000·10k–1. В результате получится число, делящееся на 51000, у которого отличны от нуля последние k цифр. Продолжая эту процедуру, можно получить число, у которого последние 1000 цифр отличны от нуля. Теперь отбросим все цифры, кроме 1000 последних. Полученное число, очевидно, тоже делится на 51000.
Задачи без решений
1. Сколько существует целых положительных:
а) трёхзначных чисел, первая цифра которых больше двух остальных, а вторая – меньше третьей;
б) четырёхзначных чисел, которые делятся на 4, и в записи которых нет цифр 3, 0, 8?
2. В десятизначном числе N первая цифра совпадает с количеством единиц в записи числа N, вторая – с количеством двоек, третья – троек, ... , десятая – с количеством нулей. Найдите число N.
3. Найдите все значения n при которых (n+1)-значное число 144...4 является квадратом натурального числа.
4. У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитывается сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитывается сумма цифр и так далее до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел получится больше: 1 или 2?.
5. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444445-значное число не может быть степенью двойки.
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка тикток