Способы определения плоскости

Плоскость в пространстве однозначно задаётся:

               тремя точками, не лежащими                       прямой и точкой, не лежащей

                       на одной прямой                                         на этой прямой

              двумя пересекающимися прямыми               двумя параллельными прямыми
 

Прямые в пространстве

a∩b = C.

Признак параллельности прямых:

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

a||c, b||c ⇒ a||b.

Прямая и плоскость в пространстве

а ∈ α. 

А ∈ α,  В ∈ α  ⇒  а ∈ α.

a ∩ α = А.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:

а || α.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:

а ∉ α,  ∃b ∈ α, а || b ⇔ а || α.

Признак параллельности прямых:

Если прямая b параллельна плоскости α, а плоскость β проходит через b и пересекает плоскость α по прямой а, то прямые а и b параллельны:

b || α, α ∩ β = a ⇒ а || b.

Признак параллельности прямых:

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:

a || α, a || β, α ∩ β = b  ⇒ а || b.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:

b ∈ α,  c ∈ α,  a ⊥ b,  a ⊥ c  ⇒  a ⊥ α.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:

a ⊥ α,  а || b  ⇒  b ⊥ α.

Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:

a ⊥ α,  b ⊥ α  ⇒  а || b.

Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.

Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.

АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α;

АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α;

В – основание перпендикуляра АВ;

С – основание наклонной АС;

ВС – проекция наклонной АС на плоскость α.

Свойства перпендикуляра и наклонной:

• перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости;
• равные наклонные, проведённые из данной точки к плоскости, имеют равные проекции; и наоборот: равным проекциям соответствуют равные наклонные;
• из двух наклонных, проведённых из данной точки к одной плоскости, больше та, проекция которой больше.

Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:

∠АСВ – угол между наклонной АС и плоскостью α.

Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:

∠АСВ < ∠АСD.

Теорема про три перпендикуляра:

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:

АВ ⊥ α, а ∈ α :

а ⊥ ВС ⇔ а ⊥ АС.

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:

АВ – расстояние от прямой а до плоскости α.

Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых (a и b) называется отрезок (АВ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.

Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:

АВ – расстояние между скрещивающимися a и b.

Плоскости в пространстве

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:

α ∩ β = с.

Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:

α ∩ β = α

или

α ∩ β = β.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:

α || β ⇔ α ∩ β = ∅.

Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:

a ∈ α, b ∈ α, a₁ ∈ β, b₁ ∈ β, a ∩ b

⇓ 

α || β.

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:

А ∈ α,  В ∈ β,  АВ ⊥ α,  АВ ⊥ β 

⇓

АВ – расстояние от α до β.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.

Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:

α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.

Плоскость γ, перпендикулярная ребру двугранного угла KL, пересекает его грани α и β по двум полупрямым: СА и СВ. Угол АВС, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.

Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.

Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.

Две плоскости называются перпендикулярными (α⊥β), если угол между ними равен 90°.

Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.

Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то

0º ≤ φ ≤ 90º.

Признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:

b ∈ β,  b ⊥ α  ⇒  α ⊥ β .

Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:

b ∈ β, α ⊥ β b ⊥ с, с = α ∩ β ⇒ b ⊥ α .

Некоторые свойства прямых и плоскостей

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:

α || β  и  a || b || c ⇒ A₁A₂ = B₁B₂ = C₁C₂ .

Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:

α || β  ⇒  ∠CBE = ∠CAD.

Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:

α || β,  α ∩ γ = а,  β ∩ γ = b  ⇒  a || b.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

c ⊥ α,  α || β  ⇒  c ⊥ β .

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:

α ⊥ c,  β ⊥ c  ⇒  α || β .

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

γ ⊥ α,  α || β  ⇒  γ ⊥ β .