Книжное обозрение
Д. Пойа
Математика и правдоподобные рассуждения
Москва, "Наука", 1975
Данная книга обращена прежде всего к тем, кто изучает математику, — начиная от учащихся старших классов и студентов и кончая специалистами в различных областях, которым приходится встречаться с применением математических методов исследования. Читатель узнает, какими путями добываются новые факты в математике, с какой степенью доверия следует относиться к той или иной математической гипотезе — одним словом, перед ним раскрывается подлинный процесс математического творчества. Благодаря этому книга является также незаменимым пособием для преподавателей математики всех ступеней. Увлекательность изложения, обилие исторических иллюстраций, а также предпринятая автором попытка построения теории правдоподобных (индуктивных) умозаключений делают книгу интересной и для профессионала-математика.
Для чтения существенных частей текста может быть достаточно некоторого знания элементарной алгебры и геометрии. Почти для всего текста и большей части примеров и примечаний достаточно хорошего знания элементарной алгебры и геометрии и некоторого знания аналитической геометрии и математического анализа, включая пределы и бесконечные ряды. Однако в нескольких эпизодических замечаниях в тексте, в некоторых предлагаемых задачах и в отдельных примечаниях предполагаются более глубокие знания. Обычно в этих случаях делается какое-нибудь предупреждение.
Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (2,9 Mb)
Дж. Пойа
Математическое открытие
Москва, "Наука", 1970
"Математическое открытие" – такими словами известный американский математик Д.Пойа характеризует получение любого (сколь угодно скромного!) математического результата, например, просто решение задачи.
В книге не только содержится анализ самого процесса решения задачи (процесса "математического открытия"), но и немало места занимают прямые методические рекомендации; это вызвано тем, что процесс решения задач анализируется в неразрывной связи с процессом обучения решению задач. Основное внимание уделено задачам школьного уровня, и лишь в редких эпизодах изложение отклоняется в область высшей математики. Каждую главу сопровождают упражнения и дополнительные замечания к ним, дающие более широкое толкование вопроса.
Читатель, приложивший серьезные усилия к решению некоторой задачи, может извлечь из них пользу даже в том случае, если решить задачу ему не удалось. Он может, например, попытаться использовать информацию, которую доставит ему изложение (в конце книги) начала решения, сопоставив ее с самостоятельными размышлениями; отложив книгу с ее рекомендациями, он может попробовать найти оставшуюся часть решения самостоятельно.
Дж. Пойа. Математическое открытие (5,91 Mb)
Ю.В. Пухначёв, Ю.П. Попов
Математика без формул
Москва, АО «Столетие», 1995
Авторы: "Что такое математика?
Задайте этот вопрос своим приятелям, спросите у знакомых, и в ответ вы скорее всего услышите что-нибудь вроде: «Это наука о числах и фигурах»,
В самом деле, возьмем наугад любой раздел математики. Арифметика занимается числами. Они же подразумеваются под буквами в формулах алгебры. В геометрии речь идет о плоских фигурах и пространственных телах,
Между тем существуют такие отрасли математики, где ни числа, ни фигуры никакой видной роли не играют. Вот книга по математической логике. Заглянем в нее. Формулы, которые встретятся нам тут, напоминают алгебраические. Однако буквы в них обозначают не числа, а фразы, чаще всего математического содержания. Их в логике именуют высказываниями. Фигуры же появляются здесь исключительно для иллюстрации.
А вот книга по теории групп, В ее формулах буквы истолковываются как математические операции. После таких примеров трудно утверждать, будто в числах и фигурах заключено нечто самое существенное для математики.
Так что же такое математика? Что е ней самое главное? Что прежде всего характерно для любого из ее разделов, любой ее теории?"
Ю.В. Пухначёв, Ю.П. Попов. Математика без формул (10,9 Mb)
Владимир Игоревич Арнольд
Задачи для детей от 5 до 15 лет
Москва, МЦНМО, 2004
Эту брошюру составляют 77 задач для развития культуры мышления, подобранных или сочиненных автором. Большинство из них не требует никаких специальных знаний, выходящих за рамки общего образования. Однако решение отдельных задач может оказаться непростым делом даже для профессоров.
Из вступительного слова автора: "Эти задачи я записал в Париже весной 2004 года, когда русские парижане попросили меня помочь их малолетним детям приобрести традиционную для России, но далеко превосходящую все западные обычаи культуру мышления.
Я глубоко убежден, что эта культура более всего воспитывается ранним самостоятельным размышлением о простых, но не легких вопросах, вроде приведенных ниже (рекомендую особенно задачи 1, 3, 13).
Я заметил даже, что пятилетние дети решают подобные задачи лучше школьников, испорченных натаскиванием, которым они даются легче, чем студентам, подвергшимся зубрежке в университете, но все же превосходящим своих профессоров (хуже всех решают эти простые задачи нобелевские и филдсовские лауреаты)".
Книга адресована школьникам, студентам, учителям, родителям – всем, кто считает культуру мышления неотъемлемой частью развития личности.
В.И. Арнольд. Задачи для детей от 5 до 15 лет (0,2 Mb)
Владимир Игоревич Арнольд
Нужна ли в школе математика?
Москва, МЦНМО, 2004
Брошюра представляет собой текст доклада, прочитанного академиком Владимиром Игоревичем Арнольдом участникам Всероссийской конференции по математическому образованию (Дубна, сентябрь 2000 года).
"Я собираюсь рассказать сегодня о довольно грустных обстоятельствах, связанных с положением математического образования во всём мире. Больше всего я знаю положение, естественно, в России, а также во Франции и в Соединённых Штатах. Но процессы, о которых я буду говорить, примерно одновременно идут во всём мире. Они несколько невероятны, но то, что я буду рассказывать, как бы это ни было невероятно, – чистая правда", – вступительные слова автора.
Книга представляет интерес для преподавателей математики как школ, так и высших учебных заведений, всем кто заинтересован в развитии математического образования.
В.И. Арнольд. Нужна ли в школе математика? (0,3 Mb)
В.И. Арнольд
Теория катастроф
Москва, "Наука", 1990
Математическое описание катастроф — скачкообразных изменений, возникающих в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий, дается теориями особенностей и бифуркаций. Их применения к конкретным задачам в разных областях науки вызвали много споров. В книге рассказывается о том, что же такое теория катастроф и почему она вызывает такие споры. Изложены результаты математических теорий особенностей и бифуркаций. Новое издание дополнено обзором недавних достижений теории перестроек, библиографией и задачником.
Из предисловия: Математическое описание мира основано на тонкой игре непрерывного и дискретного. Дискретное более заметно. Особенности, бифуркации и катастрофы – термины, описывающие возникновение дискретных структур из гладких, непрерывных. За последние 30 лет теория особенностей достигла высокого технического уровня. Сейчас это – мощный новый математический аппарат, имеющий широкую область приложений в естествознании и технике. Цель этой книги – объяснить, как этот аппарат работает, читателю-нематематику. Однако я надеюсь, что и специалисты найдут здесь новые для себя факты и идеи.
В.И. Арнольд. Теория катастроф (5,8 Mb)
В.И. Арнольд
Математическое понимание природы
Москва, МЦНМО, 2009
Сборник “Задачи для детей от 5 до 15 лет” вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и всё естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения.
Собранные в книге 38 очерков преследуют цель: научить читателя не столько умножать большие числа (что иногда тоже приходится делать), но и догадываться о неожиданных связях непохожих на вид явлений и фактов, относящихся порой к разным областям естествознания и других наук.
Примеры учат не меньше, чем правила, а ошибки - больше, чем правильные, но непонятные доказательства.
Разглядывая рисунки настоящей книги, читатель сможет понять больше, чем выучивая десятки аксиом, (даже вместе с выводом из них следствий о том, куда впадает Волга и что едят лошади).
Занимательная и полная специфического "высоколобого" юмора книга, содержащая описания разнообразных очевидных, но труднообъяснимых природных явлений с изящными математическими объяснениями. Очень полезная книга для людей с живым умом.
В.И. Арнольд. Математическое понимание природы (16,9 Mb)
В.И. Арнольд
Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук – первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов
Москва, "Наука", 1989
Настоящая книжка представляет собой расширенный вариант доклада, прочитанного автором 25 февраля 1986 года при открытии студенческого лектория Московского математического общества, посвящённого трёхсотлетию «Математических начал натуральной философии» Ньютона. В ней рассказывается о рождении современной математики и теоретической физики в трудах великих учёных XVII века. Некоторые идеи Гюйгенса и Ньютона опередили своё время на несколько столетий и получили развитие только в последние годы. Об этих идеях, включая несколько новых результатов, также рассказано в книге.
Из вступления: "В 1987 году исполнилось 300 лет «Математическим началам натуральной философии» Ньютона — книге, заложившей основы всей современной теоретической физики. С этой книги, собственно говоря, и начинается теоретическая физика. Почти тогда же и там же начался математический анализ. Первая публикация по анализу относится к 1684 году, и принадлежит она не Ньютону, так и не опубликовавшему своих открытий в этой области, а Лейбницу.
Говоря о содержании «Математических начал натуральной философии», стоит посмотреть, как была написана эта книга, из чего она возникла, какие задачи решались, когда создавался анализ, для чего он создавался, почему он так называется, откуда взялись его основные понятия, например, почему в анализе мы говорим о функциях и т.д.
По существу, эта книга была написана для решения одной-единственной задачи. И хотя в ней содержатся, разумеется, и так называемые три закона Ньютона и большое количество другого материала, но всё это было написано практически менее чем за год только для того, чтобы изложить решение одной задачи, а именно задачи о движении в поле силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до притягивающего центра.
Первая часть рассказа — это история о том, откуда взялась эта задача, почему Ньютон стал ею заниматься и что он, собственно говоря, по этому поводу доказал. Это история о Ньютоне и Гуке..."
Для студентов и преподавателей вузов, учителей математики средней школы и историков науки.
В.И. Арнольд. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук (1,1 Mb)
В.И. Арнольд
Что такое математика?
Москва, МЦНМО, 2002
Основным содержанием книги является статья академика Владимира Игоревича Арнольда, написанная в 2002 году.
"Вопрос о том, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося, вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динамических систем).
Я буду говорить в основном о содержательных примерах, показывающих кардинальные различия точек зрения аксиомофилов и естествоиспытателей уже на столь фундаментальные понятия, как производные и пределы, теоремы существования и единственности, оптимизация и теория управления, как неразрешимость одних проблем и измерение сложности других".
Книга содержит также "Доклад о девяти недавних математических открытиях" и Задачи парижского семинара 2002 года.
В.И. Арнольд. Что такое математика? (1,96 Mb)
В.Б. Алексеев
Теорема Абеля в задачах и решениях
Москва, МЦНМО, 2001
Из предисловия: "В курсе средней школы подробно изучаются алгебраические уравнения с одним неизвестным 1-й степени (линейные) и 2-й степени (квадратные). При этом оказывается, что для решения таких уравнений существуют общие формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. А существуют ли подобные формулы для решения алгебраических уравнений более высоких степеней, знают очень немногие. Оказывается, что для уравнений 3-й и 4-й степени такие формулы тоже существуют. Методы решения этих уравнений мы рассмотрим во «Введении». Если же рассмотреть общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше 4-й. то оказывается, что оно не разрешимо в радикалах, т. е. не существует формулы, выражающей корни такого уравнения через коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. Это и есть теорема Абеля. Одна из целей данной книги – познакомить читателя с доказательством теоремы Абеля..."
Кроме этого читатель познакомится с двумя очень важными разделами современной математики – теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги – дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.
В.Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях (1,8 Mb)
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутить телеграм