Основные понятия

Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 

Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника.

ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD – грани;

AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – рёбра;

A, B, C, D, E, F – вершины многогранника ABCDEF.

Теорема Эйлера для многогранников:

Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его ребер и G — число граней, то верно равенство:

V – R + G = 2.

Призма

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники, о которых шла речь, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.

Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.

Боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.

Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.

Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы.

Призма называется п-угольной, если её основание – п-угольник.

АВСA₁В₁С₁ – треугольная призма;

ΔАВС и ΔA₁В₁С₁ – основания;

АA₁, ВВ₁, СС₁ – боковые рёбра;

АA₁В₁В, АA₁С₁С, ВВ₁С₁С – боковые грани;

A₁О – высота призмы;

α – угол наклона бокового ребра к основанию призмы.   

Призма называется прямой, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Боковое ребро прямой призмы является её высотой.

Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

S_б = P_осн·АА₁.

Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым рёбрам,являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими, через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани:

ВВ₁D₁D – диагональное сечение.

Если в произвольной наклонной призме провести сечение, перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра, и площадь этого сечения обозначить S_⊥, а периметр – Р_⊥, тогда:

• для боковой поверхности призмы верно:

S_б = Р_⊥·АА₁;

• для объёма призмы верно:

V = S_⊥·АА₁.

В прямой призме:

S_⊥= S_осн;

Р_⊥= P_осн·

В любой призме площадь полной поверхности считается как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

S_п = S_б + 2·S_осн.

Параллелепипед

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.

У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами.

У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений:

d² = a² + b² + c².

В прямоугольном параллелепипеде верно:

• для площади полной поверхности:

S_п = 2·(ab+bc+ac);

• для объёма:

V = abc.

В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На первом рисунке, приведённом выше, показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда.

Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме трёх названных.

Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на втором рисунке.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны:

В кубе верно:

• для площади полной поверхности:

S_п = 6·a²,   S_п = 2·d²,

• для объёма:

Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.

У куба девять плоскостей симметрии:

• три из них, проходя через середины четырёх параллельных ребер куба, дают в сечениях квадраты;
• остальные шесть – это все плоскости диагональных сечений куба.

Пирамида

Пирамидой (например, SABCDE) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE) – основания пирамиды, точки (S), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки (SA, SB, SC, SD, SE), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:

ΔSAB, ΔSBC, ΔSCD, ΔSDE, ΔSEA – боковые грани.

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. 

Высотой пирамиды (SО) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;

β – угол наклона боковой  грани (SED) пирамиды к плоскости её основания.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• все боковые ребра равны;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
• боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
• высоты боковых граней равны;
• боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды:

V = 1/3·S_оснh.

Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

S_п = S_б + S_осн. 

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части:

пирамиду, подобную данной (SA₁В₁С₁) и

многогранник, называемый усеченной пирамидой (AВСA₁В₁С₁).

Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях (ΔАВС и ΔA₁В₁С₁), называются основаниями, остальные грани (АA₁В₁В, АA₁С₁С, ВВ₁С₁С) называются боковыми гранями.

Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Высота усеченной пирамиды (ОО₁) – это расстояние между плоскостями её оснований.

Если S₁ и S₂ – площади оснований усечённой пирамиды и h – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:

Пирамида (например, SABCD) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник (ABCD – квадрат), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О – центр описанной и вписанной окружностей основания).

Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

S_б = ½P_осн·SL.

Усеченная пирамида (например, АВСDA₁В₁С₁D₁), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды (АA₁В₁В, АA₁С₁С, DD₁С₁С, АA₁D₁D) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Правильные многогранники

Тетраэдр                                          Куб                                          Октаэдр

                                                              Додекаэдр                                                  Икосаэдр

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.