Рациональные и иррациональные числа
Немного теории
Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.
Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.
Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.
Некоторые свойства:
Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).
Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.
Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).
Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).
Множество иррациональных чисел несчётно.
При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + b√c (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – b√c: его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + b√c и a – b√c являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Задачи с решениями
1. Докажите, что
а) число √7;
б) число lg 80;
в) число √2 + 3√3;
является иррациональным.
а) Допустим, что число √7 рациональное. Тогда, существуют такие взаимно простые p и q, что √7 = p/q, откуда получаем p2 = 7q2. Так как p и q взаимно простые, то p2, а значит и p делится на 7. Тогда р = 7k, где k – некоторое натуральное число. Отсюда q2 = 7k2 = pk, что противоречит тому, что p и q взаимно просты.
Итак, предположение ложно, значит, число √7 иррациональное.
б) Допустим, что число lg 80 рациональное. Тогда существуют такие натуральные p и q, что lg 80 = p/q, или 10p = 80q, откуда получаем 2p–4q = 5q–p. Учитывая, что числа 2 и 5 взаимно простые, получаем, что последнее равенство возможно только при p–4q = 0 и q–p = 0. Откуда p = q = 0, что невозможно, так как p и q выбраны натуральными.
Итак, предположение ложно, значит, число lg 80 иррациональное.
в) Обозначим данное число через х.
Тогда (х – √2)3 = 3, или х3 + 6х – 3 = √2·(3х2 + 2). После возведения этого уравнения в квадрат получаем, что х должен удовлетворять уравнению
х6 – 6х4 – 6х3 + 12х2 – 36х + 1 = 0.
Его рациональными корнями могут быть только числа 1 и –1. Проверка же показывает, что 1 и –1 не являются корнями.
Итак, данное число √2 + 3√3 является иррациональным.
2. Известно, что числа a, b, √a–√b, – рациональные. Докажите, что √a и √b – тоже рациональные числа.
Рассмотрим произведение
(√a – √b)·(√a + √b) = a – b.
Число √a+√b, которое равно отношению чисел a – b и √a–√b, является рациональным, так как частное от деления двух рациональных чисел – число рациональное. Сумма двух рациональных чисел
½(√a + √b) + ½(√a – √b) = √a
– число рациональное, их разность,
½(√a + √b) – ½(√a – √b) = √b,
тоже рациональное число, что и требовалось доказать.
3. Докажите, что существуют положительные иррациональные числа a и b, для которых число ab является натуральным.
4. Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству
(a + b√2)2n + (c + d√2)2n = 5 + 4√2,
где n – натуральное число?
Если выполнено равенство, данное в условии, а числа a, b, c, d – рациональные, то выполнено и равенство:
(a – b√2)2n + (c – d√2)2n = 5 – 4√2.
Но 5 – 4√2 < 0, а (a – b√2)2n + (c – d√2)2n > 0. Полученное противоречие доказывает то, что исходное равенство невозможно.
Ответ: не существуют.
5. Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то для всех n = 2, 3, 4, . . . отрезки с длинами n√a, n√b, n√c так же образуют треугольник. Докажите это.
Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то неравенство треугольника даёт
a + b > c.
Поэтому мы имеем
(n√a + n√b)n > a + b > c = (n√c)n,
откуда
n√a + n√b > n√c.
Остальные случаи проверки неравенства треугольника рассматриваются аналогично, откуда и следует заключение.
6. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.
Как известно, рациональные числа выражаются десятичными дробями, которые имеют период начиная с некоторого знака. Поэтому достаточно доказать, что данная дробь не является периодической ни с какого знака. Предположим, что это не так, и некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби, начиная с m-го знака после запятой. Ясно, что среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что начиная с m-ой цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 100...0 = 10k, где k > m и k > n. Понятно, что эта запись встретится правее m-ой цифры и содержит более n нулей подряд. Тем самым, получаем противоречие, завершающее доказательство.
7. Дана бесконечная десятичная дробь 0,a1a2... . Докажите, что цифры в ее десятичной записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное число.
Напомним, что дробь выражает рациональное число в том и только том случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса - каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут предшествовать периоду в дробной части десятичной дроби. Далее, запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять ее бесконечное число раз. Таким образом, мы выписали искомую периодическую дробь, выражающую некоторое рациональное число.
8. Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.
Пусть m – произвольно заданное натуральное число. Разобьем данную бесконечную десятичную дробь на отрезки, по m цифр в каждом. Таких отрезков будет бесконечно много. С другой стороны, различных систем, состоящих из m цифр, существует только 10m, т. е. конечное число. Следовательно, хотя бы одна из этих систем должна повторяться здесь бесконечно много раз.
Замечание. Для иррациональных чисел √2, π или е мы даже не знаем, какая цифра повторяется бесконечно много раз в представляющих их бесконечных десятичных дробях, хотя каждое из этих чисел, как легко можно доказать, содержит по крайней мере две различные такие цифры.
9. Докажите элементарным путём, что положительный корень уравнения
х5 + х = 10
является иррациональным.
Для х > 0 левая часть уравнения возрастает с возрастанием х, и легко заметить, что при х = 1,5 она меньше 10, а при х = 1,6 – больше 10. Поэтому единственный положительный корень уравнения лежит внутри интервала (1,5; 1,6).
Запишем корень как несократимую дробь p/q, где p и q – некоторые взаимно простые натуральные числа. Тогда при х = p/q уравнение примет следующий вид:
p5 + pq4 = 10q5,
откуда следует, что р – делитель 10, следовательно, р равно одному из чисел 1, 2, 5, 10. Однако выписывая дроби с числителями 1, 2, 5, 10, сразу же замечаем, что ни одна из них не попадает внутрь интервала (1,5; 1,6).
Итак, положительный корень исходного уравнения не может быть представлен в виде обыкновенной дроби, а значит является иррациональным числом.
10. а) Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?
б) Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
в) Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты - рациональные числа.)
а) Да, существуют. Пусть C – середина отрезка AB. Тогда XC2 = (2XA2 + 2XB2 – AB2)/2. Если число AB2 иррационально, то числа XA, XB и XC не могут одновременно быть рациональными.
б) Пусть (a1; b1), (a2; b2) и (a3; b3) – координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений:
(x – a1)2 + (y – b1)2 = (x – a2)2 + (y – b2)2,
(x – a1)2 + (y – b1)2 = (x – a3)2 + (y – b3)2.
Легко проверить, что эти уравнения линейные, а значит, решение рассматриваемой системы уравнений рационально.
в) Такая сфера существует. Например, сфера с уравнением
(x – √2)2 + y2 + z2 = 2.
Точка O с координатами (0; 0; 0) – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Остальные точки сферы иррациональные. Докажем это.
Допустим противное: пусть (x; y; z) – рациональная точка сферы, отличная от точки O. Понятно, что х отличен от 0, так как при x = 0 имеется единственное решение (0; 0; 0), которое нас сейчас не интересует. Раскроем скобки и выразим √2:
x2 – 2√2x + 2 + y2 + z2 = 2
√2 = (x2 + y2 + z2)/(2x),
чего не может быть при рациональных x, y, z и иррациональном √2. Итак, О(0; 0; 0) – единственная рациональная точка на рассматриваемой сфере.
Задачи без решений
1. Докажите, что число
\[ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} \]
является иррациональным.
2. При каких целых m и n выполняется равенство (5 + 3√2)m = (3 + 5√2)n ?
3. Существует ли такое число а, чтобы числа а – √3 и 1/а + √3 были целыми?
4. Могут ли числа 1, √2, 4 быть членами (не обязательно соседними) арифметической прогрессии?
5. Докажите, что при любом натуральном n уравнение (х + у√3)2n = 1 + √3 не имеет решений в рациональных числах (х; у).
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка тик ток