Арифметика
Разложение натуральных чисел на простые множители
Обыкновенные дроби и действия над ними
Десятичные дроби и действия над ними
Положительные и отрицательные числа и действия над ними
Натуральные числа
Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов или при указании порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
► Например, запись 3 527 означает, что
3 — цифра тысяч,
5 — цифра сотен,
2 — цифра десятков,
7 — цифра единиц, то есть
3 527 = 3 · 1 000 + 5 · 100 + 2 · 10 + 7. ◄
Вообще, если
a — цифра тысяч,
b — цифра сотен,
c — цифра десятков,
d — цифра единиц, то имеем число
a · 1 000 + b · 100 + c · 10 + d,
которое обозначают
abcd.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом \( \mathbb {N}\). Если число \(a\) является натуральным, то пишут \(a\in \mathbb {N}\), в противном случае — \(a\notin \mathbb {N}\).
Вот некоторые свойства множества натуральных чисел:
- Единица является наименьшим натуральным числом.
- Для любого натурального числа можно указать следующее непосредственно за ним натуральное число.
- Для любого натурального числа, кроме единицы, можно указать предшествующее ему натуральное число.
- Натуральных чисел бесконечно много, так как для любого натурального числа найдётся большее натуральное число.
- Сумма \(n\) первых натуральных чисел вычисляется по формуле:
$$1+2~+~...~+~n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
Замечание. Существуют два подхода к определению натуральных чисел:
- натуральные числа — числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, …);
- натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с ноля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход.
Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного множества натуральных чисел, включающего нуль. Расширенный ряд обозначается \( \mathbb {N}_0.\)
Арифметические действия
Сложение. Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально.
Числа, которые складываются, называются слагаемыми. Число, получившееся в результате сложения, называется суммой.
► Например, в 4 + 5 = 9 числа 4 и 5 — слагаемые, число 9 — сумма. ◄
Умножение. Умножить два натуральных числа, это значит повторить одно из них слагаемым столько раз, сколько указывает другое.
Числа, которые умножаются называются множителями, результат умножения — произведением.
► Например,
4 · 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
или
4 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.
Числа 4 и 5 — множители, число 20 — произведение. ◄
Свойства сложения и умножения:
- Результатом сложения или умножения натуральных чисел всегда является натуральное число.
- a + b = b + a — переместительное свойство сложения.
- (a + b) + с = a + (b + c) — сочетательное свойство сложения.
- a · b = b · a — переместительное свойство умножения.
- (a + b) + с = a + (b + c) — сочетательное свойство умножения.
- a · (b + c) = a · b + a · c — распределительное свойство умножения относительно сложения.
Вычитание. Вычитание есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое — вычитаемого, искомое слагаемое — разности.
► Например, в записи вычитания 13 – 8 = 5 число 13 — уменьшаемое, 8 — вычитаемое, 5 —
разность. Сложение 5 + 8 = 13 является проверкой вычитания 13 – 8 = 5. ◄
Деление. Деление есть нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Данное произведение называют делимым, данный множитель — делителем, искомый множитель — частным.
► Например, в записи деления 35 : 7 = 5 число 35 — делимое, 7 — делитель, 5 — частное.
Пишут так же
$$\frac{35}{7}=5.$$
Умножение 5 · 7 = 35 является проверкой деления 35 : 7 = 5. ◄
Признаки делимости
Свойство делимости суммы:
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Свойство неделимости суммы:
Если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.
Свойство делимости произведения:
Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Признак делимости на 2.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или натуральное число, которое делится на 2, то есть оно заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6 или 8. Такие числа называют чётными. Натуральные числа не делящиеся на 2 называют нечётными.
Признак делимости на 4.
Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8. Можно сформулировать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и любой другой натуральной степени числа 2.
Признак делимости на 3.
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех цифр в записи этого числа делится на 3.
Признак делимости на 9.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех цифр в записи этого числа делится на 9.
Признак делимости на 6.
Натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на 2 и на 3.
Признак делимости на 5.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.
Признак делимости на 25.
Натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или образуют двузначное число, делящееся на 25, то есть числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75.
Признак делимости на 10, 100, 1000 и т.д.
Натуральное число делится на 10, 100, 1000 и т.д. тогда и только тогда, когда оно заканчивается соответственно одним, двумя, тремя и т.д. нулями.
Признак делимости на 11.
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места в записи числа, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число кратное 11.
Существуют признаки делимости и на другие числа кроме перечисленных выше, но эти признаки, как правило, сложнее. К примеру
Признак делимости на 19.
Натуральное число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19.
► Примеры.
1) сумма 12 + 450 + 54 делится на 2, т.к. каждое слагаемое делится на 2;
2) сумма 12 + 450 + 45 не делится на 2, т.к. из трёх слагаемых только одно слагаемое, 45, не делится на 2;
3) произведение 25 · 74 · 12 · 395 делится на 3, так как нашёлся множитель, 12, делящийся на 3;
4) число 14 640
делится на 2, т.к. оканчивается цифрой 0,
делится на 4, т.к. оканчивается числом 40, которое делится на 4,
делится на 8, т.к. оканчивается числом 640, которое делится на 8;
делится на 3, т.к. 1 + 4 + 6 + 4 + 0 = 15, и число 15 делится на 3;
не делится на 9, т.к. 1 + 4 + 6 + 4 + 0 = 15, и число 15 не делится на 9;
делится на 6, т.к. делится одновременно на 2 и на 3;
делится на 5 и на 10, т.к. заканчивается цифрой 0;
не делится на 100, т.к. не заканчивается парой 00;
5) числа 473 и 90 728 делятся на 11, т.к.
в первом случае: 4 + 3 = 7,
во втором: (9 + 7 + 8) – (0 + 2) = 24 – 2 = 22 — число кратное 11.
6) число 817 делится на 19, т.к. 81 + 2 · 7 = 95 и 9 + 2 · 5 = 19 — число делящееся на 19. ◄
Разложение натуральных чисел на простые множители
Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым; если число имеет более двух делителей, то оно называется составным. Заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Перечень первых 1229-ти простых чисел приведён в таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000. Некоторые свойства простых чисел, полезные при решении задач, можно посмотреть здесь.
Основная теорема арифметики.
Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только единственным образом.
При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым.
► Например, для числа 360 разложение на простые множители будет иметь вид:
$$\left.\begin{matrix}360\\180\\90\\45\\15\\5\\1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\2\\2\\3\\3\\5\\~\end{matrix}~~~~~~~~~360=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.$$
◄
НОД и НОК нескольких чисел
Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем для каждого из них. Понятно, что для любого конечного набора натуральных чисел количество общих делителей конечно, а значит среди них можно выбрать наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (обозначают НОД).
► Например, для чисел 72 и 96 имеем:
делители 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72;
делители 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96;
общие делители 72 и 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24;
наибольший общий делитель 72 и 96: 24 или НОД(72; 96) = 24. ◄
На практике используют следующее правило нахождения наибольшего общего делителя:
чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим из имеющихся показателем.
► Например, найдём НОД(3780; 7056).
$$\left.\begin{matrix}3780\\1890\\945\\315\\105\\35\\7\\1\\~\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\2\\3\\3\\3\\5\\7\\~\\~\end{matrix}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left.\begin{matrix}7056\\3528\\1764\\882\\441\\147\\49\\7\\1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\2\\2\\2\\3\\3\\5\\7\\~\end{matrix}$$$$3780=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7,~~~~~~~7056=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2$$$$HOD(3780;7056)=2^2 \cdot 3^2 \cdot 7=252.$$
Ответ: НОД(3780; 7056) = 252. ◄
Если простых множителей, общих для двух данных чисел нет, то наибольшим общим делителем этих чисел является 1. Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.
Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным для каждого из них. Очевидно, среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, это число называется наименьшим общим кратным (обозначают НОК).
► Например, для чисел 12 и 15 имеем:
кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ... ;
кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ... ;
общие общие кратные 12 и 15: 60, 120, ... ;
наименьшее общее кратное 12 и 15: 60 или НОК(12; 15) = 60. ◄
На практике более удобно правило нахождения наименьшего общего кратного:
чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим из имеющихся показателей.
► Например, найдём НОК(3780; 7056). Выше получено:
$$3780=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7,~~~~~~~7056=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2$$
и, согласно правилу нахождения наименьшего общего кратного, имеем:
$$HOK(3780;7056)=2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2=105~840.$$
Ответ: НОК(3780; 7056) = 105 840. ◄
Свойства наибольшего общего делителя, НОД(a; b), и наименьшего общего кратного, НОК(a; b), двух чисел:
- Наибольший общий делитель некоторых чисел делится на любой общий делитель этих чисел.
- Множество общих делителей чисел a и b совпадает с множеством делителей НОД(a; b).
- Наименьшее общее кратное двух чисел является делителем всех других общих кратных этих чисел.
- Множество общих кратных чисел a и b совпадает с множеством кратных для НОК(a; b).
- Если число a является делителем числа b, то НОД(a; b) = a, НОК(a; b) = b.
- Общий множитель можно выносить за знаки НОД и НОК:$$HOD(a\cdot k;~b\cdot k)=k\cdot HOD(a;b),~~~~~HOK(a\cdot k;~b\cdot k)=k\cdot HOK(a;b).$$
- Если НОД(a; b) = d, то числа a/d и b/d — взаимно простые, то есть$$HOD\left (\frac{a}{d};\frac{b}{d} \right )=1.$$
- Для любых натуральных чисел a и b справедливо равенство$$HOD\left (a;b \right )\cdot HOK\left (a;b \right )=a\cdot b.$$в частности, если a и b взаимно простые, т.е. НОД(a; b) = 1, то НОК(a; b) = a · b.
Обыкновенные дроби и действия над ними
Обыкновенная дробь — это число вида \(\frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — некоторые натуральные числа. Число \(m\) называют числителем дроби, \(n\) — знаменателем.
Если \(m<n\), то дробь \(\frac{m}{n}\) называется правильной. Если \(m \geqslant n\), то дробь \(\frac{m}{n}\) называют неправильной. Запись \(\frac{m}{n}\) считается другим вариантом записи \(m:n\).
Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной$$\frac{m}{n}=\frac{m \cdot k}{n\cdot k}~.$$
Замену данной дроби другой, равной ей, но с меньшим числителем и меньшим знаменателем называют сокращением дроби. Если числитель и знаменатель — взаимно обратные числа, то дробь называется несократимой. Основная цель сокращения дроби — замена данной дроби равной ей несократимой дробью.
► Например, \(\frac{45}{60}=\frac{45:15}{60:15}=\frac{3}{4}\) — несократимая дробь. ◄
Приведением к общему знаменателю называется замена двух или более дробей другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей знаменатели одинаковые. Обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
- Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
- Разделить наименьшее общее кратное на знаменатель каждой дроби, вычислив тем самым дополнительные множители для дробей.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
► Например, приведём к наименьшему общему знаменателю дроби \( \frac{3}{20}, \frac{11}{24}, \frac{7}{30}.\)
1) НОК(20; 24; 30) = 120;
2) 120 : 20 = 6, 120 : 24 = 5, 120 : 30 = 4, то есть 6, 5, 4 — дополнительные множители для первой, второй, третьей дробей, соответственно;
3) выполним умножения на дополнительные множители;
$$\frac{3}{20}=\frac{{^6}{^{\diagup}}3}{20}=\frac{6\cdot 3}{6\cdot 20}=\frac{18}{120},$$$$\frac{11}{24}=\frac{{^5}{^{\diagup}}11}{24}=\frac{5\cdot 11}{5\cdot 24}=\frac{55}{120},$$$$\frac{7}{30}=\frac{{^4}{^{\diagup}}7}{30}=\frac{4\cdot 7}{4\cdot 30}=\frac{28}{120}.$$
Ответ: \( \frac{18}{120}, \frac{55}{120}, \frac{28}{120}.\) ◄
Сравнение обыкновенных дробей.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю и применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей.
Чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним:
$$\frac {a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}~ .$$
Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю (как правило, наименьшему), а затем сложить их или вычесть по предыдущему правилу.
Умножение обыкновенных дробей.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо отдельно умножить их числители и отдельно — знаменатели:
$$\frac {a}{c}\cdot \frac{b}{d}=\frac{a\cdot b}{c\cdot d}~ .$$
Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо это число умножить на числитель, а знаменатель оставить прежним:
$$n\cdot \frac{a}{c}=\frac{n\cdot a}{c}~ .$$
Деление обыкновенных дробей.
Чтобы разделить дробь на дробь, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$$\frac {a}{c}: \frac{b}{d}=\frac {a}{c}\cdot \frac{d}{b}=\frac{a\cdot d}{c\cdot b}~ .$$
► Например,
\( 1)~~\frac{5}{7}>\frac{3}{7},~~\frac{15}{17}<\frac{15}{16};\\\\ 2)~~\frac {2}{9}+ \frac{4}{9}=\frac{2~+~4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3};\\\\3)~~ \frac {5}{3}\cdot \frac{9}{10}=\frac{5~\cdot~ 9}{3~\cdot~ 10}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}=1\tfrac{1}{2};\\\\ 4)~~ \frac {2}{3}: \frac{4}{5}=\frac {2}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{2~\cdot~ 5}{3~\cdot~ 4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}~. \)
◄
Десятичные дроби и действия над ними
Десятичная дробь (конечная, и далее речь только о таких) — способ записи обыкновенной дроби или смешанного числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т.д.
► Например, \( \frac{7}{10}=0,7;~~\frac{23}{1000}=0,023;~~\frac{123}{10}=12,3;~~5\tfrac{1}{100}=5,01. \) ◄
В виде десятичной дроби можно представить любую обыкновенную дробь, знаменатель которой является делителем некоторой степени числа 10.
► Например,
5 — делитель 10, поэтому \( \frac{4}{5}=\frac{8}{10}=0,8;\)
8 — делитель 1 000, поэтому \( \frac{3}{8}=\frac{375}{1~000}=0,375;\)
400 — делитель 10 000, поэтому \( \frac{431}{400}=1\tfrac{31}{400}=1\tfrac{775}{10~000}=1,0~775.\) ◄
Условие представления обыкновенной дроби в виде десятичной:
если в разложении знаменателя дробина простые множители содержатся только двойки и пятёрки, то эту дробь можно записать в виде десятичной;
если дробь несократима и в разложении её знаменателя на простые множители входят, кроме двоек и пятёрок, другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной дроби.
Свойства десятичных дробей:
- Десятичная дробь не изменит величины, если к ней справа приписать любое количество нулей.
- Десятичная дробь не изменит величины, если отбросить нули, стоящие справа в её конце.
- Десятичная дробь увеличится в 10, 100, 1 000 и так далее раз, если запятую перенести вправо на один, два, три и так далее знаков.
- Десятичная дробь уменьшится в 10, 100, 1 000 и так далее раз, если запятую перенести влево на один, два, три и так далее знаков.
Сравнение десятичных дробей.
Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей больше та дробь, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифры разряда десятых больше та дробь, у которой цифра разряда сотых больше, и так далее.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
Чтобы сложить или вычесть две десятичные дроби надо:
1) записать дроби в столбик так, чтобы запятая была под запятой;
2) при необходимости уравнять количество знаков после запятой, с помощью нулей;
3) выполнить сложение или вычитание, не обращая внимания на запятую;
4) в полученном результате поставить запятую под запятыми.
Умножение десятичных дробей.
Чтобы умножить две десятичные дроби надо:
1) выполнить умножение, на обращая внимания на запятые;
2) в полученном результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.
Деление обыкновенных дробей.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, не забыв при этом поставить запятую в частном, когда закончится деление целой части.
Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо сначала перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
► Например,
\( 1)~2,45>1,74;~~~0,33<0,4;~~~14,521>14,5097;\\~\\2)~4,245+5,807:~~~~~ ^+\begin{matrix} ~4,245\\~ 5,807\\\overline{10,052}\end{matrix} ~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3)~7,1-5,937:~~~~~^-~ \begin{matrix}7,100\\5,937\\\overline{1,163}\end{matrix}\\~\\4)~1,23\cdot 0,3:~~~ ^{\times} \begin{matrix}
~~1,23\\~~~0,3\\\overline{0,369}\end{matrix}\\~\\ 5)~22,1:13=1,7;~~~~~0,221:13=0,017;~~~~~22,1:0,13=2210:13=170. \)
◄
Положительные и отрицательные числа и действия над ними
Числа, записываемые со знаком "–", называют отрицательными. Например, –23 — отрицательное число. Число 23 или +23 называют положительным и противоположным числу –23. Число 0 не относят ни к положительным, ни к отрицательным числам. Он считается противоположным самому себе.
Натуральные числа, им противоположные числа и число ноль образуют множество целых чисел. Его принято обозначать \( \mathbb{Z} \).
Упорядоченное представление множества целых чисел в виде
. . . –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 . . .
получило название ряд целых чисел.
Введём понятие модуля или абсолютной величины числа.
Модулем положительного числа или числа 0 называют само это число. Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.
► Например, 5 — модуль числа +5, пишут |+5| = 5;
|0| = 0; |–17| = +17; |–23| = |+23| = 23. ◄
Сравнение целых чисел.
Из двух целых чисел больше то, которое в ряду целых чисел расположено правее.
Удобно использовать следующие следствия из этого правила:
- любое положительное число больше 0;
- любое отрицательное число меньше 0;
- любое положительное число больше любого отрицательного;
- из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
Сложение целых чисел.
1) Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
- поставить знак того числа, модуль которого больше,
- из большего модуля вычесть меньший.
2) Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
- поставить знак "минус",
- сложить их модули.
3) Сумма противоположных чисел равна 0.
Вычитание целых чисел.
Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Умножение и деление целых чисел.
1) Чтобы умножить или разделить два числа с разными знаками, надо
- поставить знак "минус",
- умножить или разделить их модули.
2) Чтобы умножить или разделить два отрицательных числа, надо
- поставить знак "плюс",
- умножить или разделить их модули.
3) Делить на 0 нельзя.
► Например,
\( 1)~+3>0,~~~-14<0,~~~~2>-14,~~~-35<-4;\\~\\ 2)~(+8)~ +~(-6)=+(8-6)=+2,~~~~~~~~-35+22=-(35-22)=-13,\\~~~~-17+(-40)=-(17+40)=-57,~~~(+9)~+~(-9)=0;\\~\\ 3)~3-5=3+(-5)=-2,~~~~~~-3-5=-3+(-5)=-8,\\~~~~~3-(-5)=3+5=8, ~~~~~~~~~-3-(-5)=-3+5=+2,;\\~\\4)~10\cdot (-2)=-(10\cdot 2)=-20,~~~~~~~-10:2=-(10:2)=-5,\\~~~~-10\cdot (-2)=+(10\cdot 2)=+20,~~~~-10:(-2)=+(10:2)=+5. \)
◄
Проценты
Один процент (обозначают 1%) — это сотая часть чего-либо.
Любое количество процентов можно записать в виде десятичной дроби или натурального числа. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.
Чтобы записать десятичную дробь или натуральное число в виде процентов, надо это число умножить на 100 и к результату приписать знак %.
► Например,
1% = 0,01; 31% = 0,31; 50% = 0,5; 140% = 1,4.
0,05 = 5%; 0,7 = 70%; 1 = 100%; 2,054 = 205,4%. ◄
Основные виды задач на проценты:
- Нахождение процентов от числа. Чтобы найти проценты от числа, надо выразить эти проценты десятичной дробью и умножит данное число на эту дробь.
- Нахождение числа по данному значению его процентов. Чтобы найти число по данному значению его процентов, надо выразить эти проценты десятичной дробью и разделить данное значение на полученную дробь.
- Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо одно число разделить на другое и полученный результат представить в виде процентов.
► Примеры.
- Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день бригада выполнила 40% задания. Сколько гектаров вспахано в первый день?
40% = 0,4;
300 · 0,4 = 120.
Ответ: 120 га. - В первый день бригада вспахала 300 га, что составляет 40% всего поля. Найти площадь всего поля.
40% = 0,4;
300 : 0,4 = 750.
Ответ: 750 га. - Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день бригада вспахала 165 га. Сколько процентов поля вспахано в первый день?
165 : 300 = 0,55;
0,55 = 55%.
Ответ: 55%. ◄
Для нахождения числа, которое получается в результате многократного однотипного изменения первоначальной величины на одно и то же число процентов, удобно использовать формулу сложных процентов:$$a_n = a_0\left ( 1\pm \frac{p}{100} \right )^n,$$где
a0 — первоначальное значение величины,
an — значение величины после n изменений,
p — количество процентов, на которые изменяется величина каждый раз,
n — количество изменений,
при этом в скобках берётся знак "плюс", если величина растёт и "минус" — если величина уменьшается.
► Например, в торговой сети цена некоторого мобильного телефона 10 000 рублей и каждые полгода снижается на 5%. Какова предполагаемая стоимость этого телефона через два года?
a0 = 10 000; p =5; n = 2 : 0,5 = 4. Найдём a4 по формуле сложных процентов и учтём то, что первоначальная стоимость снижается и, значит, в скобках записываем "минус":
$$a_4 = 10~000\cdot\left ( 1- \frac{5}{100} \right )^4=10^4\cdot \left (\frac{19}{20} \right )^4=\left ( \frac{19}{2} \right )^4=8~145\tfrac{1}{16}\approx 8~145.$$
Ответ: примерно 8 145 рублей. ◄
Отношения и пропорции
Отношением числа a к числу b называют частное от деления числа a на число b. Вместо записи a к b используют:$$a:b,~~~~\frac{a}{b}~.$$
При решении задач иногда приходится разбивать данное число M на слагаемые m1 и m2 в отношении a к b. В этом случае$$m_1=\frac{a\cdot M}{a+b},~~~~~m_2=\frac{b\cdot M}{a+b}~.$$Аналогично поступают, если слагаемых три, четыре и так далее.
► Например, найдём углы треугольника, если они относятся как 2 : 3 : 4.
$$\alpha =\frac{2\cdot 180^{\circ} }{2+3+4}=\frac{360^{\circ}}{9}=40^{\circ},\\\\ \beta =\frac{3\cdot 180^{\circ} }{2+3+4}=\frac{540^{\circ}}{9}=60^{\circ},\\\\ \gamma =\frac{4\cdot 180^{\circ} }{2+3+4}=\frac{720^{\circ}}{9}=80^{\circ}.$$
Ответ: \( 40^{\circ},~ 60^{\circ},~80^{\circ}. \) ◄
Пропорция — это равенство двух равных отношений:$$a:b=c:d,~~~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}~.$$
При этом называют
a и d — крайними членами пропорции,
b и c — средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции:
произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} ~~~ \Rightarrow ~~~ a\cdot d=b\cdot c.$$
Правила нахождения неизвестного члена пропорции:
- чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение её средних членов разделить на известный крайний член пропорции:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} ~~~ \Rightarrow ~~~ a=\frac{b\cdot c}{d}~,~~~d=\frac{b\cdot c}{a}~;$$
- чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} ~~~ \Rightarrow ~~~ b=\frac{a\cdot d}{c}~,~~~c=\frac{a\cdot d}{b}~.$$
► Например, решим уравнение \( \frac{5}{6}=\frac{10}{2x-3} \), используя первое правило:
\( \frac{5}{6}=\frac{10}{2x-3}~;\\\\2x-3=\frac{6~\cdot ~10}{5}~;\\\\2x-3=12~;\\\\2x=15~;\\\\x=7,5~. \)
Ответ: 7,5. ◄
Пропорциональными (прямо пропорциональными) величинами называют такие две величины, что при увеличении одной из них в несколько раз, значения второй увеличиваются во столько же раз.
Свойство пропорциональных величин: отношение пропорциональных величин — число постоянное.
► Примеры пропорциональных величин:
- количество приобретаемого товара и вся его стоимость;
- скорость автомобиля, движущегося с постоянной скоростью, и пройдённое им расстояние.
- объём жидкости и её масса;
- длина стороны квадрата и его периметр. ◄
Обратно пропорциональными величинами называют такие две величины, что при увеличении одной из них в несколько раз, значения второй уменьшаются во столько же раз.
Свойство обратно пропорциональных величин: произведение обратно пропорциональных величин — число постоянное.
► Примеры обратно пропорциональных величин:
- количество приобретаемого товара и стоимость единицы товара при фиксированной сумме на покупку;
- скорость движения и время движения при преодолении фиксированного расстояния;
- производительность труда и время работы на выполнение конкретного задания;
- длина и ширина прямоугольника при фиксированной его площади. ◄
Смотрите так же:
Арифметический корень n-й степени
Построение графиков функций геометрическими методами
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Таблицы значений тригонометрических функций
Предел и непрерывность функции
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка подписчиков в инстаграм