Основные определения

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R, который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE, который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует. 

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α, называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β, называется угол, образованный двумя радиусами.

Хорды

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

AB||CD ⇒ ∪AC = ∪BD.

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

AC = BC ⇒ OC⊥AB.
 

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

AB = CD ⇔ OK = OL.

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

AB = CD ⇔ ∪AB = ∪CD.

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

AB > EF ⇔ OK < OM. 

Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны:

α = ½·(∪AC + ∪BD).

Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то

AM·MB = CM·MD.

Касательные и секущие

Прямая (a), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (B), называется касательной к этой окружности.

Прямая (a), которая перпендикулярна диаметру окружности (АВ) и проходит через его конец (В), является касательной к этой окружности.

Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания.

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны:

АВ = АС.

Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:

∠ВАО = ∠САО.

Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей.

Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности:

МВ·МС = МА²,

и

∠М = ½·(∪AC – ∪АВ).

Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами:

∠А = ½·(∪CD – ∪BE)

и

AB·AC = AE·AD.

Касание двух окружностей

Для двух окружностей с центрами О₁ и О₂, и радиусами R и r:

• при внешнем касании: О₁О₂ = R + r;
• при внутреннем касании: О₁О₂ = R – r.

Углы в окружности

Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’.

Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов.

Если радианная мера угла равна α, то угол содержит (180·α)/π градусов.

Если градусная мера угла составляет п°, то круговая – πп/180 радиан.

Так углам в 1°, 10°, 30°, 60°, 90°, 135°, 180°, 360° соответствуют углы, содержащие  π/180, π/18, π/6, π/3, π/2, 3π/4, π, 2π радиан.

Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла:

∪АС = ∠АОС.

Угловая величина дуги обладает следующими свойствами:

• Угловая величина дуги неотрицательна.
• Равные дуги имеют равные угловые величины.
• Если две дуги одной окружности (или равных окружностей) имеют равные угловые величины, то они равны.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠АВС = ½·∪АС = ½·∠АОС.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

∠ABC=∠ADC=∠AEC.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым:

∠ACВ= ½·∪АВ=½·180°=90°.

Длина окружности и дуги

Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π.

π = 3,1415926535... .

Длина окружности:

L = 2πR.

Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности:

l = α·R.

Площадь круга и его частей

Площадь круга:

S = π·R².

Площадь сектора:

S = ½·α·R².

Площадь сегмента:

S = ½·(α–sin α)·R².