math4school.okis.ru

 

 

Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры. Действительно,

46 · 96 = 4416 = 64 · 69.

Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?

Обозначив цифры искомых чисел через х и y, z и t, составляем уравнение

(10x + y)(10z + t) = (10y + x)(10t + z).

Раскрыв скобки, получаем после упрощений:

xz = yt,

где х, y, z, t - целые числа, меньшие 10. Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:

1 · 4 = 2 · 2

2 · 8 = 4 · 4

1 · 6 = 2 · 3

2 · 9 = 3 · 6

1 · 8 = 2 · 4

3 · 8 = 4 · 6

1 · 9 = 3 · 3

4 · 9 = 6 · 6

2 · 6 = 3 · 4

Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел. Например, из равенства 1 · 4 = 2 · 2 составляем одно решение:

12 · 42 = 21 · 24.

Из равенства 1 · 6 = 2 · 3 находим два решения:

12 · 63 = 21 · 36  и  13 · 62 = 31 · 26.

Таким образом разыскиваем следующие 14 решений:

12 · 42 = 21 · 24     23 · 96 = 32 · 69

12 · 63 = 21 · 36     24 · 63 = 42 · 36

12 · 84 = 21 · 48     24 · 84 = 42 · 48

13 · 62 = 31 · 26     26 · 93 = 62 · 39

13 · 93 = 31 · 39     34 · 86 = 43 · 68

14 · 82 = 41 · 28     36 · 84 = 63 · 48

23 · 64 = 32 · 46     46 · 96 = 64 · 69

 

Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970)

 

   <<< Назад