math4school.okis.ru

 

Устный счёт

Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868–1945) "Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского" известна многим. На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме. 

Учитель – реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833–1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

Однако, при всей известности картины мало кто из видевших её вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 

102 + 112 + 122 + 132 + 142

365

Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

 

 

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:

10² + 11² + 12² = 13² + 14².

Действительно, так как

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365,

то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Википедия для подсчета значения числителя предлагает следующий способ:

10² + 11² + 12² + 13² + 14² =

= 10² + (10 + 1)² + (10 + 2)² + (10 + 3)² + (10 + 4)² =

= 10² + (10² + 2·10·1 + 1²) + (10² + 2·10·2 + 2²) + (10² + 2·10·3 + 3²) + (10² + 2·10·4 + 4²) =

= 5·100 + 2·10·(1 + 2 + 3 + 4) + 1² + 2² + 3² + 4² =

= 500 + 200 + 30 = 730 = 2·365.

Как по мне, – слишком мудрено. Проще поступить иначе:

10² + 11² + 12² + 13² + 14² =

= (12 – 2)²  + (12 – 1)² + 12² + (12 + 1)²  + (12 + 2)² =

= 5·12² + 2·4 + 2·1 = 5·144 + 10 = 730,

а далее уже

730	= 2.
365

Приведенные рассуждения вполне можно осуществить устно – 12², конечно, нужно помнить, удвоенные произведения квадратов двучленов слева и справа от 12² взаимно уничтожаются и их можно не считать, а 5·144 = 500 + 200 + 20, – не сложно.

Воспользуемся этим приемом и устно найдем сумму:

48² + 49² + 50² + 51² + 52² = 5·50² + 10 = 5·2500 + 10 = 12510.

Усложним:

84² + 87² + 90² + 93² + 96² = 5·8100 + 2·9 + 2·36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.

 

Ряд Рачинского

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел

10,  11,  12,  13,  14

более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x² + (х + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x + 4)².

Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x – 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x² – 10x – 11 = 0,

откуда

х₁ = 11, x₂ = –1.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10,  11,  12,  13,  14

и ряд

–2,  –1,  0,  1,  2.

В самом деле,

(–2)² +(–1)² + 0² = 1² + 2².

 

Два!!!

Закончить я хотел бы светлыми и трогательными воспоминаниями автора авторского блога В. Искры в статье О квадратах двузначных чисел и не только о них…

 

Когда-то, в году примерно 1962-м, наша «математичка», Любовь Иосифовна Драбкина, дала эту задачу и нам, 7-классникам. 

Я тогда очень увлекался только что появившимся КВН-ом. Болел за команду подмосковного города Фрязино. «Фрязинцы» отличались особым умением применять логический «экспресс-анализ» для решения любой задачи, «вытягивания» самого каверзного вопроса. 

Быстро посчитать в уме я не мог. Однако, применив «фрязинский» метод, я прикинул, ответ должен выражаться целым числом. Иначе - это уже не «устный счет»! Этим числом не могла быть единица – даже если бы в числителе стояли одинаковые 5 сотен, ответ получался явно больше. С другой стороны, и до числа «3» он явно де дотягивал. 

– Два!!! – выпалил я, на секунду опередив моего друга, Леню Струкова, лучшего математика нашей школы. 

– Да, действительно два, – подтвердил Леня. 

– Как Вы считали? – спросила Любовь Иосифовна. 

– Я никак не считал. Интуиция – ответил я под хохот всего класса. 

– Если не считал – ответ не считается – «скаламбурила» Любовь Иосифовна. Леня, а ты тоже не считал? 

– Нет, почему же, степенно ответил Леня. Надо было сложить 121, 144, 169 и 196. Я попарно сложил числа первое и третье, второе и четвертое. Так удобнее. Получилось 290+340. Общая сумма, включая первую сотню – 730. Делим на 365 – получаем 2. 

– Молодец! Но на будущее запомните – в ряду двузначных чисел – у первых пяти его представителей – есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции… 

* * * 

…Прошли годы. Наш город обзавелся своим «Чудом Света» – мозаичными картинами в подземных переходах. Переходов было много, картин – еще больше. Темы были самыми разными – оборона Ростова, космос… В центральном переходе, под перекрестком Энгельса (сейчас – Большая Садовая) – Ворошиловский сделали целую панораму об основных этапах жизненного пути советского человека – родильный дом – детский сад - школа, выпускной бал…

На одной из «школьных» картин можно было увидеть знакомую сцену – решение задачи… Назовем ее так: «Задача Рачинского»…

…Проходили годы, проходили люди… Веселые и грустные, молодые и не очень. Кто-то вспоминал свою школу, кто-то при этом «шевелил мозгами»…

Замечательно поработали мастера-плиточники и художники, которыми руководил Юрий Никитович Лабинцев!

Сейчас «ростовское чудо» «временно недоступно». На первый план вышла торговля – в прямом и переносном смысле. Все же, будем надеяться, что в этом расхожем словосочетании – главным является слово «временно»…

 

Источники: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра ( Москва, «Наука», 1967), Википедия, авторский блог В.Искры.

 

  <<< Назад