math4school.okis.ru

 

Постановка вопроса

Число 6 равно произведению двух чисел: 2 и 3. Число 7 нельзя разложить подобным образом на два сомножителя. Поэтому 7 называют простым числом. Вообще простым или первоначальным числом называется целое положительное число, которое нельзя разложить на два меньших сомножителя. 5 и 3 тоже простые числа; напротив, число 4 не простое, так как

4 = 2 · 2.

Сама двойка также является простым числом. По отношению к 1 обсуждение вопроса о возможности разложения числа на множители теряет смысл. Таким образом, первые простые числа суть

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .  .

С первого же взгляда видно, что ряд несколько причудлив; никакого простого закона в его строении непосредственно не обнаруживается.

Любое число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадется на одни только простые числа. Представив 6 в виде 2 · 3, мы убеждаемся в этом для 6 непосредственно;

30 = 5 · 6,

но в свою очередь

6 = 2 · 3,

поэтому

30 = 2 · 3 · 5

является произведением трех простых сомножителей;

24 = 3 · 8 = 3 · 2 · 4 = 3 · 2 · 2 · 2

разлагается на четыре сомножителя, из которых один, именно 2, повторяется несколько раз. Ясно, что при допущении таких повторений подобное разложение на простые множители осуществимо для всякого числа. Поэтому простые числа являются в этом смысле как бы основными элементами, из которых построен весь числовой ряд.

В IX книге «Начал» Евклида ставится вопрос: имеет ли последовательность простых чисел конец? И там же дается ответ на этот вопрос: доказывается, что ряд простых чисел бесконечен, т.е.  за каждым простым числом может быть указано еще одно, большее простое число.

 

Доказательство Евклида 

Доказательство Евклида необычайно остроумно. Оно основывается на следующем простом замечании. Таблица, получающаяся при умножении последовательных чисел на 3:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, . . . ,

содержит все числа, в которые входит множителем число 3; ни в какое другое число 3 не входит, в частности, оно не входит ни в одно из тех чисел, которые следуют непосредственно за числами этой последовательности, т.е. за кратными числа 3.  Таковы, например,

19 = 6 · 3 + 1,  22 = 7 · 3 + 1  и  т.д.

Подобным же образом число 5 не может быть множителем числа, следующего непосредственно за числами, кратными 5, например числа

21 = 4 · 5 + 1;

то же самое будет верно по отношению к 7, 11 и т.д.

Евклид строит числа

2 · 3 + 1 = 7;

2 · 3 · 5 + 1 = 31;

2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 311;

2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2311;

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 и т.д.,

которые получаются перемножением нескольких первых простых чисел и прибавлением единицы к полученному произведению.

Легко видеть, что получающиеся таким образом числа не могут содержать в качестве множителей тех простых чисел, с помощью которых они сами были построены. Например, последнее из выше написанных чисел не делится на 3, так как оно на 1 больше числа, кратного 3; но оно же на 1 больше числа, кратного 5 или любого другого использованного при его образовании простого числа. Ни одно из чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13

не может, следовательно, войти в него множителем. Если бы поэтому в противоположность числам

7, 31, 211, 2311,

являющимися простыми, число 30031 было не простым, то можно быть все же уверенным в том, что ни одно из чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13

уже не входит в него множителем и что самый меньший его простой множитель должен быть больше 13. И действительно, путем нескольких проб можно обнаружить, что

30 031 = 59 · 509;

оба эти числа – и 59, и 509 – простые числа, большие 13.

Это рассуждение будет справедливо и в том случае, если мы продолжим процесс образования таких чисел сколь угодно далеко. Пусть р – какое-либо простое число; образуем из всех простых чисел от 2 до р число

2 · 3 · 5 · 7 · . . . · p = N;

тогда ни одно из использованных здесь простых чисел

2, 3, 5, 7, . . . , р

не войдет множителем в N. В таком случае либо само N будет простым числом, и притом значительно превышающим р, либо N будет разлагаться на простые множители, заведомо отличные от чисел

2, 3, 5, . . . , р,

т.е. большие чем р. И в том и в другом случае должны существовать простые числа, большие р. За каждым простым числом следует, таким образом, еще одно большее. А это и требовалось доказать.

Неизвестно, что должно нас больше всего удивлять в этом тексте Евклида: то ли, что греческие математики вообще могли поставить подобный вопрос ради него самого, из внутреннего влечения к математическому мышлению, т.е. по мотивам, не свойственным ни одному из более древних народов и переданным в наследство позднейшим культурам лишь греческой традицией; или то, что они поставили именно этот вопрос, столь легко ускользающий от наивного наблюдателя, кажущийся ему праздным и тривиальным, вопрос, вся трудность и глубина которого раскрывается лишь тому, кто безуспешно пытался отыскать простой закон для ряда простых чисел,

закон, позволяющий неограниченно продолжать этот ряд. Пожалуй, самым удивительным здесь нужно считать то, что греки сумели обойти отсутствие подобной закономерности тем искусным приемом доказательства, с которым мы только что познакомились.

Ведь доказательство Евклида дает вовсе не ближайшее следующее за р простое число, а вообще лишь некоторое число, лежащее обычно весьма далеко от р, например, в качестве простого числа, заведомо превышающего 11, доказательство дает не 13, а 2311; за 13 оно дает простое число 59 и т.д. И действительно, обычно между тем простым числом, которое дает нам доказательство Евклида, и ближайшим простым числом находится много других простых чисел. В этом именно и заключается свидетельство того большого чувства такта, с которым греческий математик, столь мудро себя ограничивая, пролагал путь в таком сложном по своей структуре ряде простых чисел.

 

Пробелы в ряде простых чисел

Чтобы дать здесь несколько более конкретное представление о сложности этой структуры, мы покажем, что в ряде простых чисел могут быть сколь угодно большие пробелы. Так, например, мы покажем, что среди тысячи следующих друг за другом чисел может не оказаться ни одного простого числа. Мы исходим при этом из соображений, весьма близких к евклидовым.

Выше мы заметили, что число

2 · 3 · 5 + 1 = 31;

не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5. Воспользуемся теперь тем простым обстоятельством, что сумма двух чисел, делящихся на 3, также делится на 3 и что подобное свойство остается верным для 5, 7, а также и для всякого другого делителя. Отсюда мы заключаем, что ни одно из чисел

2 · 3 · 5 + 2 = 32;

2 · 3 · 5 + 3 = 33;

2 · 3 · 5 + 4 = 34;

2 · 3 · 5 + 5 = 35;

2 · 3 · 5 + 6 = 36 

не может быть простым; ведь число, прибавляемое к 30, делится во всех этих случаях или на 2, или на 3, или на 5, а так как 30 также делится на них, то делится и сумма. Лишь в отношении следующей за ними суммы

2 · 3 · 5 + 7 = 37

так рассуждать уже нельзя, и действительно, число 37 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, и потому оно само является простым числом.

Обозначив теперь первое простое четырехзначное число, а именно 1009, через р и образовав тысячу последовательных чисел

2 · 3 · . . . · р + 2,

2 · 3 · . . . · р + 3,

. . .  ,

2 · 3 · . . . · р + 1001,

применим к ним только что проиллюстрированный метод рассуждения. Так как каждое из чисел

2, 3, . . . , 1001

делится, по крайней мере, на одно из простых чисел

2, 3, . . . , р,

произведение же

2 · 3 · . . . · р

делится на все эти числа, то каждая из выше написанных сумм делится, по крайней мере, на одно

из этих простых чисел; это значит, что ни одна из них не может быть простым числом. Итак, мы нашли тысячу последовательных чисел, среди которых нет ни одного простого.

Конечно, нужно зайти довольно далеко в ряду простых чисел, прежде чем встретится такого рода пробел. Но если пойти достаточно далеко, то можно, следуя тому же принципу, найти пробел, охватывающий миллион последовательных чисел, и вообще пробелы сколь угодно большой величины.

Эта вторая проблема, сколь ни близка она к первой как по характеру постановки вопроса, так и по методу доказательства, не встречается ни у кого из греческих математиков. Ее выдвинула новая математика, связав с нею целый круг дальнейших вопросов, доказываемых в большинстве случаев уже далеко не столь просто; из этих вопросов развилась одна из глубочайших, одна из самых волнующих своими нерешенными проблемами областей математического анализа.

 

"Разные" простые числа

Мы остановимся здесь на одном небольшом примере, который поддается исследованию методом Евклида и позволяет составить некоторое представление о том, в каком именно направлении математика нового времени расширяет проблематику греков. Выше мы рассматривали сначала числа

3, 6, 9, 12, 15, . . . ,

получающиеся от умножения последовательности чисел натурального ряда на 3, а затем последовательность следующих за ними чисел

4, 7, 10, 13, 16, . . . ;

теперь рассмотрим еще оставшиеся после этого числа:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, . . . ,

т.е. числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Покажем, что и среди одних только этих чисел содержится уже бесчисленное множество простых чисел, т.е. покажем, что последовательность простых чисел

2, 5, 11, 17, 23, . . .

также не имеет конца.

Доказательство нуждается в простом предварительном замечании. Если перемножить между собой два каких-либо числа последовательности

1, 4, 7, 10, 13, . . . ,

то получается число, принадлежащее к этой же последовательности. Действительно, все эти числа при делении на 3 дают в остатке единицу и имеют вид:

3z + 1,

где z – целое число; если перемножить два таких числа, например

3х + 1  и  3у + 1,

то получим:

(Зх + 1)·(Зу + 1) = 9ху + Зу + Зх + 1 = 3·(Зху + х + у) + 1

т.е. опять число вида

3z + 1.

Из этого простого замечания следует, что среди простых множителей любого из чисел последовательности

2, 5, 8, 11, . . .

всегда найдется, по крайней мере, один, принадлежащий к этой же последовательности. Так, например, для

14 = 2 · 7

таковым является множитель 2, а для

35 = 5 · 7

– множитель 5. Действительно, ни один из таких простых множителей не может принадлежать к ряду

3, 6, 9, . . . ,

 в котором имеется лишь одно-единственное простое число 3. С другой стороны, если бы рассматриваемое число состояло из одних только простых множителей, принадлежащих к последовательности

4, 7, 10, 13, . . . ,

 то, согласно предыдущему замечанию, оно само должно было бы принадлежать к этой же последовательности. Таким образом, чтобы число принадлежало к последовательности

2, 5, 8, 11, . . . ,

оно должно содержать, по меньшей мере, один простой множитель, принадлежащий к этой же самой последовательности.

Теперь мы сможем легко доказать высказанное выше утверждение. Для этого придется только несколько видоизменить доказательство Евклида, а именно вместо выражения

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · . . . · р + 1 = N

рассматривать выражение

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · . . . · р – 1 = М,

которое, будучи на единицу меньше кратного 3, принадлежит к последовательности

2, 5, 8, 11, . . .  .

Число М, так же как и N, не делится ни на одно из простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, . . . , р.

Является ли само М простым числом или оно разлагается на несколько простых множителей – в обоих случаях эти простые числа будут больше р. Доказанное выше положение утверждает, что среди этих множителей должен быть, по крайней мере, один, принадлежащий к последовательности

2, 5, 8, 11, . . .  .

Таким образом, в этой последовательности заведомо имеются простые числа, превышающие сколь угодно большое простое число р и расположенные, следовательно, сколь угодно далеко.

Этим, однако, еще не предрешается вопрос о том, содержит ли также и последовательность

1, 4, 7, 10, 13, . . .

бесконечно много простых чисел; нет ничего невозможного в предположении, что из всей совокупности простых чисел бесконечно много их приходится на последовательность

2, 5, 8, 11, . . .

и только конечное число – на последовательность

1, 4, 7, 10, 13, . . . ;

общее их количество при этом по-прежнему остается бесконечно большим. Доказательство того, что и вторая последовательность содержит также бесконечно много простых чисел, требует уже совершенно других методов.

Иначе обстоит дело с последовательностями:

3, 7, 11, 15, . . . , 4n – 1, . . .

и

5, 11, 17, 23, 29, . . . , 6n – 1, . . .  .

Методами, схожими с приведёнными выше, можно доказать наличие в каждой из них бесконечного числа простых чисел.

 

Источник: Ганс Радемахер, Отто Тепліц. Числа і фігури (Тернопіль, «Навчальна книга – Богдан», 2010).

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Созвездия простых чисел

Таблица простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000

Задачи математических олимпиад. Простые и составные числа

Два условия простоты чисел