math4school.okis.ru

 

 

Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.

На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее. 

Простые числа-близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как

5  и  7,

11  и  13,

17  и  19,

получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа

3,  5,  7.

Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.

Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого способом Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:

3  и  5,

5  и  7,

11  и  13,

17  и  19,

29  и  31,

41  и  43,

59  и  61,

71  и  73.

С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.

Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:

• все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;
• при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:

11  и  13,

17  и  19,

29  и  1;

• по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.

Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы

3756801695685 · 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ ± 1,

которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр. 

 

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –

2, 3, 5  и  3, 5, 7.

Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел

p, p+2, p+6  или  p, p+4, p+6

называется триплетом. 

Простые числа-триплеты в пределах первой сотни:

  5,  7, 11;

  7, 11, 13;

11, 13, 17;

13, 17, 19;

17, 19, 23;

37, 41, 43;

41, 43, 47;

67, 71, 73.

В ноябре 2008 года был обнаружен наибольший триплет простых чисел вида p, p+2, p+6, где

p = 2072644824759 · 2³³³³³ − 1.

 

Квадруплеты простых чисел

Четвёрки простых чисел вида p–4, p–2, p+2, p+4 называют сдвоенными близнецами или квадруплетами простых чисел. В пределах первой тысячи натуральных чисел можно встретить всего пять таких четвёрок:

5,   7,   11,   13;

11,  13,  17,  19;

101, 103, 107, 109;

191, 193, 197, 199;

821, 823, 827, 829.

При делении на 30 все квадруплеты, кроме первого, дают одну и ту же четвёрку остатков:

11, 13, 17, 19;

при делении на 210, кроме первого, – одну из четырёх:  

11,   13,   17,  19;

101, 103, 107, 109;

191, 193, 197, 199.

 

Секступлеты простых чисел

Шестёрки простых чисел вида

p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16

называют секступлетами простых чисел. Среди первых десяти тысяч натуральных чисел можно встретить всего два секступлета: 

7,  11,  13,  17,  19,  23;

97, 101, 103, 107, 109, 113. 

При делении на 210 все секступлеты, кроме первого, дают следующую шестёрку остатков:

97, 101, 103, 107, 109, 113. 

 

Простые числа, отличающиеся на шесть

Простые числа, отличающиеся на шесть – пара простых чисел вида 

p,  p + 6.

Например, таковыми являются числа 5 и 11. В английском языке для таких пар чисел применяется термин sexy primes (англ. sexy – возбуждающий, англ. primes – простые числа). Примеры пар таких чисел, которые можно встретить в первой сотне натуральных чисел: 

  5  и  11,     7  и  13,

11  и  17,   13  и  19,

17  и  23,   23  и  29,

31  и  37,   37  и  43,

41  и  47,   47  и  53,

53  и  59,   61  и  67,

67  и  73,   73  и  79,

83  и  89.

По состоянию на май 2009 года самая большая известная пара таких чисел состоит из 11593 десятичных цифр. Меньшее число этой пары равно:

(117924851 · 587502 · 9001# · (587502 · 9001# + 1) + 210) · (587502 · 9001# − 1) / 35 + 5,

где

9001# = 2 · 3 · 5 · … · 9001

— примориал числа 9001, (праймориал или примориал числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n).

Не доказано, но предполагают, что количество триплетов, квадруплетов, секступлетов и пар простых чисел, отличающихся на шесть, бесконечно.

 

Арифметические прогрессии из простых чисел

Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогрессии. Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако (согласно теореме Грина – Тао) существуют сколь угодно длинные такие последовательности.

Приведём несколько примеров простых чисел в арифметической прогрессии:

 

длина	разность	последовательность
3	2	3, 5, 7
5	6	5, 11, 17, 23, 29
6	30	7, 37, 67, 97, 127, 157
7	150	7, 157, 307, 457, 607, 757, 907
10	210	199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089

 

По состоянию на апрель 2010 года, самая длинная из известных последовательностей такого типа имеет длину 26: 

43142746595714191 + 5283234035979900 · n, где n = 0, ..., 25.

В приведённых примерах соседние простые числа не обязательно являются соседними в последовательности простых чисел. Так, во втором примере за 5 следует 11, а в последовательности простых чисел – 7. 

Потребуем, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, т.е. чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел. Тогда можно привести следующие примеры простых чисел в арифметической прогрессии без пропусков:

 

длина	разность	последовательность
3	2	3, 5, 7
4	6	251, 257, 263, 269
5	30	9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139
6	30	121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961

 

Самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 10.

 

Источник: Энциклопедия для детей. Математика. Том 11 (Москва, "Аванта", 2001) и Википедия.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же: 

Бесконечность ряда простых чисел

Таблица простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000

Задачи математических олимпиад. Простые и составные числа

Два условия простоты чисел