math4school.okis.ru

 

 

Поставим перед собой задачу найти значения синуса 18° и синуса 54°. Задание, прямо скажем, не самое сложное, но по-своему интересное. Заметим, обычно тригонометрические выводы формул для sin 18° и sin 54° опираются на формулу синуса тройного аргумента, не являющуюся обязательной к изучению в школьном курсе математики. Предлагаемый же здесь вывод в применении этой формулы не нуждается. 

Итак, начнём! Воспользуемся формулами для синуса двойного аргумента и преобразования произведения синусов в разность косинусов:  

4 · sin2 18° =	2 · sin 18° · sin 36°	=	cos 18° – cos 54°	=	1 –	sin 36°	= 1 – 2 · sin 18°.
	cos 18°		cos 18°			cos 18°

Таким образом можно записать:

4 · sin² 18° + 2 · sin 18° – 1 = 0.

Посмотрим на это равенство, как на квадратное уравнение с неизвестным х = sin 18° и решим его. Из двух полученных корней выберем тот, который удовлетворяет условию sin 18° > 0. Таким образом, 

sin 18° =	1	·	(√5 – 1).
	4

Для вычисления sin 54° поступим аналогично: 

4 · sin2 54° =	2 · sin 54° · sin 108°	=	cos 54° – cos 162°	=	1 +	sin 108°	= 1 + 2 · sin 54°.
	cos 54°		cos 54°			cos 54°

Запишем

4 · sin² 54° – 2 · sin 54° – 1 = 0,

решим квадратное уравнение

4 · х² – 2 · х – 1 = 0

и в качестве значения sin 54° выберем то из его решений, которое больше нуля, а именно, –

sin 54° =	1	·	(√5 + 1).
	4

 

<<< Назад 

 

     Смотрите так же: 

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций