math4school.okis.ru

 

 

Евклид (3 век до нашей эры) – выдающийся учёный античного мира, автор знаменитых «Начал», – книги, которая на тысячелетия стала образцом изложения научных теорий и учебником, по которому изучали геометрию (и не только) многие поколения.

Рассмотрим одну из теорем книги VI «Начал» Евклида, которую можно считать обобщением теоремы Пифагора. Греческий философ, комментатор Евклида, Прокл (410–485) писал, что этой форме теоремы Пифагора отдавалось предпочтение перед другими, как такой, которая правильно выражала именно суть этой теоремы.

 

Теорема Евклида о прямоугольном треугольнике

Если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить какие-либо подобные фигуры А, В, С, у которых катеты и гипотенуза данного треугольника являются соответствующими сторонами, то

S_A + S_B = S_C ,

где S_A, S_B  и  S_C – площади подобных фигур.

 

Доказательство

Напомним, что

1) подобные многоугольники – это такие многоугольники, стороны которых пропорциональны, а соответствующие углы равны;

2) площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.   

По условию: 

SA	=	a2	и	SB	=	b2	.
SC		c2		SC		c2

 

 

 

Откуда,

S_A · c² = S_C · a²   и   S_B · c² = S_C · b² .

Сложив почленно последние два равенства, получим

S_A · c² + S_B · c² = S_C · a² + S_C · b² ,

c² · (S_A + S_B) = (a² + b²) · S_C .

Но

c² = a² + b² ,

поэтому

S_A + S_B = S_C ,

что и требовалось доказать.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Треугольники

Теорема Наполеона

Теорема Штейнера–Лемуса