Теорема Штейнера – Лемуса
Существует ряд геометрических задач, которые околдовывают каждого, кто по воле случая сталкивается с ними. По-видимому, это было характерно для геометрии даже в древнее время. Стоит только вспомнить три знаменитые задачи древности — удвоение куба, трисекцию угла и квадратуру круга. Попытки решить эти задачи привели к развитию новых ветвей математики. Даже сейчас существуют псевдоматематики, которые присылают в редакции «решения» этих задач и требуют публикации или доказательства ложности своих «решений».
Одна всегда возбуждавшая интерес теорема может быть сформулирована следующим образом:
Теорема Штейнера – Лемуса:
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник является равнобедренным.
Это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства. Этот факт тем более удивителен, что заменив слово "биссектрисы" на "медианы" или "высоты", получаем утверждения, доказательства которых элементарны.
Эта теорема была послана великому шведскому геометру, члену Берлинской академии наук, Якобу Штейнеру в 1840 году Кристианом Лудольфом Лемусом, немецким математиком, профессором Берлинского университете, с просьбой дать чисто геометрическое доказательство.
Якоб Штейнер
(1796–1863)
Штейнер дал довольно сложное доказательство, которое вдохновило многих других на поиски более простых методов. Работы по теореме Штейнера – Лемуса появлялись в различных журналах в 1842, 1844, 1848 годах и почти каждый год с 1854 года по 1864 год, а также в большом количестве и в течение следующего столетия.
Доказательство теоремы Штейнера – Лемуса
Одно из простейших доказательств опирается на следующие две леммы:
Лемма 1.
Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.
Доказательство.
Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.
Лемма 2.
В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство.
Пусть ABC — треугольник, в котором угол B меньше угла C, как на рисунке выше; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы B и C. Мы хотим доказать, что BM < CN. Возьмем точку M′ на отрезке BM так, чтобы
∠M′CN = 1/2 ∠B.
Так как этот угол равен углу M′BN, то четыре точки N, B, C, М′ лежат на одной окружности. Поскольку
∠B < 1/2 (∠B + ∠C) < 1/2 (∠A + ∠B + ∠C),
то
∠CBN < ∠M′CB < 90°.
По лемме 1: CN < M′B. Следовательно, BM > BM′ > CN.
Вернёмся теперь непосредственно к доказательству теоремы Штейнера – Лемуса. Часто случается, что теорема может быть выражена в форме "противоположной к обратной" – эквивалентной первоначальной. Например, вместо того, чтобы сказать: "Все люди смертны", мы можем также сказать "Бессмертные не есть люди". Вместо доказательства самой теоремы Штейнера – Лемуса для нас будет достаточно доказать, что
если в треугольнике ABC ∠B ≠ ∠C, то BM ≠ CN.
Но это есть прямое следствие леммы 2.
Лирико–математическое отступление
Вышеприведенное доказательство этой леммы имеет занятную историю. Оно было придумано двумя английскими инженерами Г. Джильбертом и Д. Мак-Доннеллом и опубликовано в 1963 году в журнале American Mathematical Monthly со следующим редакционным примечанием:
Мартин Гарднер в своем обзоре книги Коксетера "Введение в геометрию" описал эту знаменитую теорему столь интересно, что сотни читателей прислали ему свои доказательства. Он взял на себя труд по обработке этого громадного материала и совершенствовал его до тех пор, пока не заблистала, очищенная от наслоений, жемчужина, которую мы приводим здесь.
Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что "воздушное" доказательство Джильберта и Мак-Доннелла является косвенным: вместо самой теоремы Штейнера – Лемуса они доказывают теорему, противоположную к обратной (лемма 2).
Было предложено несколько якобы прямых доказательств; но каждое из них в действительности является в скрытой форме косвенным. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство – прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных.
Стоит ли об этом сожалеть? Великий английский математик Годфри Харольд Харди (1877–1947) говорил по этому поводу:
Reductio ad absurdum (лат. приведение к абсурду), столь любимое Евклидом, является тончайшим инструментом математика. Оно является намного более тонким гамбитом, чем любой шахматный гамбит: шахматист может предложить в жертву пешку или другую фигуру, а математик предлагает в жертву всю игру.
Алгебраическое доказательство теоремы Штейнера – Лемуса
Приведем полное прямое, хотя и несколько тяжеловесное, доказательство теоремы Штейнера – Лемуса. Для этого воспользуемся следующей теоремой:
Пусть Х – точка на стороне АС треугольника АВС, причём АВ = с, ВС = а, АС = b, ВХ = р, АХ = m, XC = n. Тогда
b (p2 + mn) = a2m + c2n .
Этот результат называется теоремой Стюарта в честь английского математика М. Стюарта, который сформулировал её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Роберт Симсон (1687–1768) который опубликовал и доказал эту теорему лишь в 1749 году (по другим сведениям, – в 1751 году).
Доказательство.
По теореме косинусов из треугольников АВХ и ВСХ имеем:
c2 = р2 + m2 – 2рm · cos α ,
а2 = р2 + n2 – 2рn · cos ( π – α) = р2 + n2 + 2рn · cos α .
Тогда
c2n = р2n + m2n – 2рmn · cos α ,
а2m = р2m + n2m + 2рmn · cos α
и
c2n + а2m = р2 (m + n) + mn (m + n) ,
c2n + а2m = (m + n) ( р2 + mn) ,
c2n + а2m = b ( р2 + mn) ,
что и требовалось доказать.
Продолжим рассуждения. Если р – биссектриса, то легко получить, что
| m = | bc | и n = | ab | . |
| a + c | a + c |
Тогда по теореме Стюарта
| c2 · ab | + | а2 · bc |
= b (р2 + | ab2c | ) , |
| a + c | a + c | (a + c)2 |
| ac2 + а2c | = р2 + | ab2c | , |
| a + c | (a + c)2 |
| ac (c + a) | = р2 + | ab2c | , |
| a + c | (a + c)2 |
| ac = р2 + ac · | b2 | , |
| (a + c)2 |
| р2 = ac (1 – | b2 | ) . (*) |
| (a + c)2 |
Приступим к непосредственному доказательству теоремы Штейнера – Лемуса.
Пусть k и l – равные биссектрисы треугольника АВС, проведённые к сторонам АВ = с и ВС = а. Тогда
k2 = l2
и, согласно полученному выше равенству (*), имеем:
| bc (1 – | a2 | ) = ab (1 – | c2 | ) , |
| (b + c)2 | (a + b)2 |
| c (1 – | a | ) (1 + | a | ) = a (1 – | c | ) (1 + | c | ) , |
| b + c | b + c | a + b | a + b |
| c (b + c – a) (a +b + c) | = | a (a + b – c) (a +b + c) | , |
| (b + c)2 | (a + b)2 |
| c (b + c – a) | = | a (a + b – c) | , |
| (b + c)2 | (a + b)2 |
a ((a – c) + b) (b + c)2 + c ((a – c) – b) (a + b)2 = 0 ,
a (a – c) (b + c)2 + ab (b + c)2 + c (a – c) (a + b)2 – bc (a + b)2 = 0 ,
(a – c) (a (b + c)2 + c (a + b)2) + (ab (b + c)2 – bc (a + b)2) = 0 ,
(a – c) (b2 (a + c) + ac (a + c) + 4abc) + b3 (a – c) – abc (a – c) = 0 ,
(a – c) ((a + c) (b2 + ab) + 3abc + b3) = 0 ,
откуда
a – c = 0
и, следовательно,
а = с,
что и требовалось доказать.
P. S.
1. Ещё с одним прямым доказательством теоремы Штейнера – Лемуса можно познакомиться на сайте Математика, которая мне нравится.
2. В советской и российской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников:
если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Использованные источники: Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер "Новые встречи с геометрией" (Москва, "Наука" ГРФМЛ, 1978) и Википедия.
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - купить лайки