Земля и апельсин
Задача, которая будет рассмотрена ниже, – весьма проста и понимание её решения не требует сколько-нибудь серьёзного уровня математической подготовки. И, тем не менее, присутствие этой задачи в разделе Магия математики, весьма оправдано, потому что парадоксальность вывода, к которому мы придём, и его упорное несоответствие здравому смыслу на первый взгляд просто удивительны.
Итак, вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем, и подобным же образом обтянут апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 метр. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхностей тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше – у земного шара или у апельсина?
Здравый смысл подсказывает такой ответ: "Конечно, у апельсина образуется больший зазор, чем у Земли! Ведь в сравнении с длиной экватора земного шара – более 40 000 км – какой-нибудь один метр есть столь ничтожная величина, что прибавка её останется совершенно незаметной. Другое дело апельсин: по сравнению с его окружностью один метр – весьма существенная величина, и прибавка её к длине окружности, конечно, должна быть ощутима".
Однако давайте проверим этот вывод с помощью несложных вычислений. Пусть длина окружности земного шара равна L, а апельсина l метрам. Тогда радиус Земли и радиус апельсина равны соответственно:
| R = | L | и | r = | l |
| 2π | 2π |
После прибавки к обручам одного метра окружность обруча у Земли будет (L + 1), а у апельсина (l + 1), новые радиусы же R' и r' будут равны
| R' = | L + 1 | и | r' = | l + 1 |
| 2π | 2π |
Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же их изменение:
| R' – R = | L + 1 | – | L | = | 1 | – для земного шара, |
| 2π | 2π | 2π |
| r' – r = | l + 1 | – | l | = | 1 | – для апельсина. |
| 2π | 2π | 2π |
Итак, и у Земли, и у апельсина получится один и тот же зазор в 1/2π метра, что чуть меньше 16 сантиметров. "Просто и удивительно! Вот уж действительно – магия," – восторженно воскликнет зритель.
А между тем, мы столкнулись с фактом, вытекающим из постоянства отношения длины окружности к её радиусу. Эффект же этой задачи объясняется отношением абсолютной величины зазора в 16 см к размерам апельсина и размерам земного шара. В первом случае – это весьма заметно, во втором – ничтожно мало. Если же взять бесконечно малый шар (точку), радиус и длина большой окружности которого равны нулю, то радиус увеличенного обруча будет равен величине установившегося зазора в 1/2π метра, что бесконечно больше чем ноль. Так что обвинять здравый смысл в полном отсутствии здравости всё же нельзя.
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - инстаграм накрутка подписчиков