math4school.okis.ru

Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, то мы получим 12 – замечательное число, столь же популярное у некоторых народов, как и число 10. Именно с помощью фаланг пальцев считали в Древнем Шумере, родине двенадцатеричной системы счисления.  Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты. Текущее состояние счёта засекалось большим пальцем, вместо загибания пяти пальцев одной руки пальцем другой, принятого в европейской цивилизации.

Двенадцатеричными дробями пользовались ещё древние римляне. Стандартной дробью была двенадцатая часть, 1/12, – унция. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время.

Число 12 в качестве основания счёта весьма удобно, ведь оно делится без остатка на 2, 3, 4 и 6, в то время как число 10 – основание десятичной системы счисления – делится нацело лишь на 2 и 5. Как удобно дробить число, когда половина, треть, четверть и шестая его части должны быть целыми числами!

А если выраженное в двенадцатеричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на число 144, а следовательно, и на все его множители, т.е. на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей – вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нулями:

2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

В нашей системе только дроби (с 1 в числителе) вида

1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10, 1/16, 1/20

и так далее, превращаются в конечные десятичные.  В двенадцатеричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные аналогичные дроби. Например, дроби:

1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144,

соответственно изобразятся так:

0,6;  0,4;  0,3;  0,2;  0,18;  0,16;  0,1;  0,09;  0,08;  0,06; 0,04;  0,03;  0,02;  0,01.

Группы по 12 предметов именуются дюжинами. Впервые в русском языке слово дюжина упоминается с 1720 года. Первоначально оно использовалось моряками. Слово произошло от латинского слова duodecim (duo – два и decim – десять).

Дюжина дюжин, то есть 12² = 144, составляла гросс (от немецкого  groß – большой), а дюжина гроссов – массу, 12³ = 1728.

Эти меры широко использовались до введения в обиход метрической системы. Например, гроссы применялись при счёте мелких галантерейных и канцелярских предметов – карандашей, пуговиц, писчих перьев и т.п. В современном русском языке сохранилось в составе многих выражений число масса, используемое в значении "очень много": "масса дел", "масса людей", "масса вопросов".

Столь широкое использование числа 12 в качестве основания счёта, вызвано арифметическими особенностями чисел в двенадцатеричной системе и, прежде всего, их более "богатой", в сравнении с десятичной системой, делимостью.

Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом.

Если число, написанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в двенадцатеричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах двенадцатеричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам, на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в двенадцатеричной системе, нулями.

При таких преимуществах двенадцатеричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему.

Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVII веке её сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Вольтер в "Истории Карла XII" (это тот самый король Швеции, войска которого были разбиты под Полтавой) утверждает, что этот монарх готовил указ о переходе на двенадцатеричную систему.

Во времена Великой французской революции была учреждена "Революционная комиссия по весам и мерам", которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиями Лагранжа и других противников реформы дело удалось свернуть.

Великий французский математик Лаплас так в своё время высказался по этому вопросу:

Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы, несомненно, отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, – именно, возможность счета по пальцам рук.

Несмотря на нашу приверженность метрической системе, число 12 прочно вошло в обиход.

В своё время не кто иной, как упомянутый Лаплас, был горячим сторонником перехода  в измерении дуг окружностей от градусов, минут и секунд к новым, десятичным. Его знаменитая книга "Изложение системы мира" последовательно проводит десятичное подразделение углов: градусом он называет не 1/90, а 1/100 долю прямого угла, минутой – 1/100 часть градуса и т.д. Лаплас высказался даже за десятичное подразделение часов и минут.

Однообразие системы мер требует, чтобы день был разделен на 100 часов, час на 100 минут и минута на 100 секунд,

– писал он. Но этим предложениям, как мы видим, не суждено было воплотиться в реальность. В противном случае мы бы писали:

sin 33,333...° = 1/2,

вместо привычного

sin 30° = 1/2.

Приверженцы числа 12 в качестве основания счёта не сдаются. В 1944 году было организовано "Американское двенадцатеричное общество"  а в 1959 году – "Английское двенадцатеричное общество", объединившие активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако, главным аргументом против этого всегда служили не математические аргументы в пользу десятичной системы счисления, а огромные затраты и неизбежная путаница при переходе.

Дюжина применяется до сих пор при комплектации, например, сервизов, столовых ложек, вилок и ножей, больших гарнитуров мебели, которые выпускаются почти всегда на 12 или 6 (полудюжина) персон. Пиво упаковывается по 6, 12 или 24 (2 дюжины) бутылок или банок. В сутках две дюжины часов, в часе 5 дюжин минут, в минуте столько же секунд. Даже круг мы делим на 30 дюжин градусов.

Влияние числа 12 ощущается в англо-американской системе мер, в которой

1 фут (30,48 см) равен 12 дюймам,

1 дюйм (2,54 см) – 12 линиям,

1 линия (2,12 мм) – 6 точкам, 

1 шиллинг – 12 английским пенни (пенсам).

Многие предметы: пуговицы, платки, куриные яйца и тому подобное, – в западноевропейских странах и США до сих пор продаются дюжинами. 

Источники: Энциклопедия для детей. Математика. Том 11 (Москва, "Аванта", 2001); Я.И. Перельман. Занимательная арифметика (Москва, «Триада–литера», 1994) и Википедия.

  <<< Назад