math4school.okis.ru

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки. Текст легенды приводится в изложении советского учёного и популяризатора физики, математики и астрономии Якова Исидоровича Перельмана (1882–1942), взятого из его замечательной книги "Живая математика". 

Давным-давно...

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повели­теля. Это был скромно одетый ученый, получавший сред­ства к жизни от своих учеников.

Сисса бен Дахир (Сасса бен Дахир) – мифический индийский мудрец, которому приписывается изобретение шахмат. Упоминается в ряде сочинений на арабском, персидском, тюркском языках, где изложены легенды о происхождении шахмат. Попытки отождествлять Сисса бен Дахира с историческими личностями научного подтверждения не получили.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.

Мудрец поклонился.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32...

–Довольно, – с раздражением прервал его царь.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...

– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.

– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.

– Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Арабская (X век) и персидская (XIV век) миниатюры. Обратите внимание: доска одноцветная!  
Черно-белая доска – это уже более позднее изобретение европейцев.  

Число-гигант

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, – но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Иначе эту сумму можно записать так: 

1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³.

Последнее слагаемое показывает, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски.

Упростим полученную сумму исходя из следующих соображений. Обозначим

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³,

тогда

2S = 2 · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³) = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2⁶⁴

и  

S = 2S – S = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2⁶⁴) – (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³) =

   = 2⁶⁴ – 2⁰ = 2⁶⁴ – 1.

Необходимое число зёрен

S = 2⁶⁴ – 1. 

Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек! (А уж единицу потом вычесть сумеем).

S = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 

          · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·

          · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·

          · 2 · 2 · 2 · 2 – 1.

Для облегчения выкладок разделим 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1 024, а 4 двоек – 16. Значит, искомый результат равен

S = 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 16 – 1.

Так как

1024 · 1024 =  1 048 576,

то

S = 1 048 576 · 1 048 576 · 1 048 576 · 16 – 1.

Проявим терпение и аккуратность в подсчётах и получим:

S = 18 446 744 073 709 551 615.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008 – 2009 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит около 1,200 триллионов тонн:

18 446 744 073 709 551 615 · 0,065 гр = 1 199 038 364 791 120 854, 975 гр =

= 1 199 038 364 791, 120 т.

Если массу пшеницы перевести в объем (1 м³ пшеницы весит около 760 кг), то получится приблизительно 1500 км³, что эквивалентно амбару с размерами 10 км х 10 км х 15 км. Это больше всего объёма горы Эверест.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода. И осталось бы отсчитать ещё 1 499 999 999 999 м³. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

Таблица зерен и их сумм

Для тех, кто буквам и словам предпочитает цифры и числа, приведём таблицу распределения зерен по клеткам шахматной доски и постепенного суммарного роста их количества. Зрелище, по-своему, завораживающее.

Вторая половина шахматной доски

В технологии стратегий «вторая часть шахматной доски» — фраза, придуманная Рэем Курцвайлемв отношении точки, в которой экспоненциальный рост фактора начинает оказывать существенное экономическое влияние на общую экономическую стратегию предприятия. В то время как количество зёрен на первой половине доски велико, количество на второй половине многократно его превышает. Количество зёрен на первой половине доски составляет

1 + 2 + 4 + … + 2 147 483 648,

всего

2³² − 1 = 4 294 967 295

зёрен, или около 100 000 кг. Это примерно ¹/_{1 200 000} от всего объёма зерна, выращиваемого в Индии за год (данные за 2005 год).

Количество зерна на второй половине доски составляет

2³² + 2³³ + 2³⁴ … + 2^63.

На одной только 64-й клетке доски будет

2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808

зёрен, более чем в 2 миллиарда раз больше, чем на всей первой половине доски.

Расстояние от Солнца до ближайшей звезды Альфа Центавра составляет 4,367 св. года. Один световой год равен

9 460 730 472 580 800 м.

Значит, Альфа Центавра удалена от нас более чем на

41 000 000 000 000 000 м.

Считая длину пшеничного зерна  равным 0,005 м, не трудно посчитать, что все полагающиеся мудрецу зерна, выложенные в цепочку одно за другим, вытянутся на расстояние более чем

92 000 000 000 000 000 м.

С избытком хватит до ближайшей звезды и обратно. При этом больше половины всего пути можно выложить зернами только с 64-й клетки.

Экспоненциальный рост

Стремительное возрастание значений величины, подобное тому, которое мы наблюдали, в математике называется экспоненциальным ростом.

Экспоненциальный рост – возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. В случае дискретной области определения с равными интервалами его еще называют геометрическим ростом (значения функции образуют геометрическую прогрессию). 

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны.

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.

Экспоненциальный рост (в нашем случае y = 2^x) противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной (у = kx) или степенной (y = xⁿ) зависимостям.

При небольших значениях аргумента значения линейной функции y = 50xпревосходят значения степеннойy =x³ и показательной y = 2^x  функций. Но при достаточно больших значениях x картина меняется с точностью до наоборот. Экспоненциальный рост в итоге оказывается гораздо более быстрым, чем любой степенной и тем более любой линейный рост.

Эпилог

В своё время из всего многообразия учебных кинолент и мультфильмов о математике, созданных на английском языке, отобрали пять фильмов для демонстрации в Калифорнийском Музее Науки при Калифорнийской Академии Наук и Чикагском Музее Науки и Промышленности. Одним из этих фильмов был мультфильм "A story of power of numbers" (1961) ("История о силе чисел"), в котором рассказывается история о самонадеянном правителе и несметном количестве зерен на клетках шахматной доски.

Новое здание Калифорнийской академии наук. Парк «Золотые ворота», Сан-Франциско, Калифорния, США

Музей науки и промышленности. Чикаго, штат Иллинойс, США

Источники: Я.И. Перельман "Живая чатематика" (Москва, "Наука", 1970), Википедия, сайты: britton.disted.camosun.bc.ca, mathforum.org и статья Ю.Л. Авербаха "Шахматы в зеркале времени" на сайте whychess.com. 

  <<< Назад

     Смотрите так же:

История о силе чисел (1961, США) (мультфильм) (англ.)

Легенда о зёрнах и шахматной доске (мультфильм)

Таблица названий больших чисел

Гугол и Вселенная