math4school.okis.ru

Математика сродни искусству, искусство математики – фразы, которые уже стали расхожими. Но если различие мнений, суждений и выводов о картине или романе – это вещь естественная, то в математике, как правило, вопрос имеет единственно верный ответ, не зависящий от чувства вкуса, воспитания или личных предпочтений каждого из нас. Выбором и поиском такого единственного ответа мы сейчас и займёмся.

Задача. На полке расставлены в один ряд 6 одинаковых баночек: 3 – с черной краской и 3 – с красной. Не глядя на наклейки, наугад снимают с полки 3 баночки. Какова вероятность, что эти баночки содержат краску одного цвета?

Попытка решения 1 

Комплект из трех баночек, снятых наугад с полки, может содержать:

Каждый комплект трех баночек – возможный исход. Всего 4 возможных исхода. Из них два удовлетворяют требованию задачи, два остальных нет. Следовательно, вероятность события А (взятые наугад три баночки содержат краску одного цвета – 3 с красной краской или 3 с чёрной краской) равна

Р (А) = 2/4 = 1/2.

Попытка решения 2

Раздвинем баночки на полке, не глядя на этикетки, – 3 налево и 3 направо. При этом могло так случиться, что:

• слева оказались 3 баночки одного цвета, справа – другого – благоприятный случай:

• слева две баночки с чёрной краской и одна с красной: 

• слева две баночки с красной краской и одна с чёрной: 

Оба последних случая неблагоприятны. Следовательно, вероятность события А равна:

Р (А) = 1/3.

Попытка решения 3

Полный набор равновозможных исходов можно составить из следующих восьми комбинаций (в каждой 3 баночки):

Из них 2 комбинации в пользу задуманного события А. Следовательно,

Р (А) = 2/8 = 1/4.

Получилось, что одно и то же событие в условиях одного и того же опыта имеет три разные меры вероятности: 1/2, 1/3, 1/4.

Вот такой казус! Какой же результат верен?

Расследование

Правильный результат не получен ни в одном из трех предыдущих решений, хотя в рассуждениях все верно, кроме признания равновероятными предположенных исходов-комбинаций в каждом решении. В любой попытке решения следовало бы учитывать количество реально возможных комбинаций (из шести баночек по три).

Так, в попытке решения 1 действительно возможно лишь одно формирование трех баночек, ведущее к появлению события

и одно, ведущее к появлению события

но появление событий вида:

возможно в девяти случаях каждое. В самом деле, например, для формирования комплекта

две баночки с черной краской могут быть выбраны из имеющихся трех:

по воле случая тремя способами:

К каждой из этих пар может присоединиться какая-либо одна из трех баночек с красной краской:

Образуется 3 · 3 = 9 комбинаций вида:

Аналогично образуется 9 комбинаций вида:

Окончательное число способов формирования комплектов-исходов вида:

равно 1 + 1 + 9 + 9 = 20 с вероятностью 1/20 для каждого из исходов вида:

и с вероятностью 9/20 для каждого из исходов вида:

Тогда вероятность события А равна

Р (А) = 1/20 + 1/20 = 2/20 = 1/10.

Источник: Б.А. Кордемского «Великие жизни в математике» (Москва, «Просвещение», 1995)

<<< Назад 

     Смотрите так же: 

Задачи математических олимпиад. Элементы теории вероятностей

Справочник. Теория вероятностей