math4school.okis.ru

 

 

Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:

9⁹⁹ ,

т.е. написать третью "сверхстепень" от 9.

Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой вселенной ничтожно по сравнению с ним.

Поставим перед собой иную задачу. Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

И начнём с первого нетривиального случая – с двоек.  

Тремя двойками

Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток мы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:

2²². 

Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2⁴, то есть 16.

Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 22² = 484, а 

2²² = 4194304.

Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.

 

Тремя тройками

Теперь мы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи:

Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как 

3³³ = 3²⁷, меньше чем 3³³.     

Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.

 

Тремя четвёрками

Постановка задачи:

Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

Если в данном случае мы поступим по образцу двух предыдущих задач и дадим ответ:

4⁴⁴,

то ошибёмся, потому что на этот раз трехъярусное расположение

4⁴⁴

как раз дает большее число. В самом деле,

4⁴ = 256,  а  4²⁵⁶ > 4⁴⁴.

 

Тремя цифрами а

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай:

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.

Обозначим цифру буквой а. Расположению

2²², 3³³, 4⁴⁴

соответствует написание

а^аа = а^10а + а = а^11а.

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

а^аа.

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то большая величина отвечает большему показателю. Когда же

а^а > 11a ?

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

а^{а – 1} > 11.  

Легко видеть, что а^{а – 1} больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

4^{4 – 1} > 11,

между тем как степени 3² и 2¹ меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и больших чисел – другое.

 

Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970)

 

   <<< Назад