math4school.okis.ru

 

 

Известно, что для любых положительных чисел a и b верно

2	≤  √ab  ≤	a + b	,
1/а + 1/b		2

где первое выражение называют средним гармоническим, второе – средним геометрическим (пропорциональным), третье – средним арифметическим двух чисел.

Докажем эти неравенства, для чего воспользуемся следующими геометрическими соображениями.

Пусть a и b – основания равнобокой трапеции ABCD. Так как

четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны,

то достаточно взять боковые стороны трапеции равными

a + b	,
2

чтобы в трапецию ABCD можно было вписать окружность:

 

Тогда для высоты трапеции ВН верно: 

BH2 = AB2 – AH2 =  (	a + b	)2 – (	a – b	)2 = ab,
	2		2

BH  =  √ab .

В прямоугольном треугольнике АВН с высотой HG проведённой к гипотенузе АВ, для катета ВН имеем:

BH = √BG · AB,

BH2 = BG · AB,

тогда

BG =	BH2	=	ab	=	2	=	2
	AB		(a + b)/2		(a + b)/ab		1/a + 1/b

Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то

BG < BH (смотрите треугольник BGH)

BH < AB (смотрите треугольник ABH)

и

BG < BH < AB.

Очевидно, что

BG = BH = AB 

при условии, что ABCD – квадрат и, как следствие, a = b.

Таким образом,

2	≤  √ab  ≤	a + b	,
1/а + 1/b		2

причём равенство достигается при a = b, что и требовалось доказать.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Четырёхугольники