math4school.okis.ru

1815–1897

 

Никто лучше меня не знает, насколько я далек от той светлой и возвышенной цели, которую поставил перед собой в воодушевлении молодости, но никто не может отнять у меня сознание того, что мои стремления и моя деятельность были не совсем напрасными и что путь, которым я шел к истине, не был ложным путем.

Карл Вейерштрасс 

 

Вейерштрасс был, очевидно, натурой, склонной к тщательному творчеству, которое постепенно прокладывает себе дорогу к вершине.

Ф. Клейн

  

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (31 октября 1815 – 19 февраля 1897) – выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа». 

Родился в Остенфельде, предместье Эннигерло, в чиновничьей семье и был старшим из четырех детей своих родителей. Мать Вейерштрасса умерла, когда ему было 12 лет. 

Отец, Вильгельм Вейерштрасс, в 19 лет был школьным учителем, затем работал чиновником. Он был секретарем бургомистра в Остенфельде, затем переселился в Вестернкоттен, где состоял служащим солеварни. Он был человеком образованным, знал физику и филологические науки, дал детям хорошее знание языков: впоследствии они вели переписку друг с другом не только на немецком, но и на французском и английском языках. 

Так как в Остенфельде не было подходящей школы для мальчика, то Карла отправили в город Падерборн, недалеко от Мюнстера (главного города Вестфалии), где он учился в гимназии с 1829 по 1834 г. В гимназии господствовали французские порядки поощрения учеников путем воздействия на их честолюбие. Если ученик имел высшие оценки по трем предметам, то в его честь музыкальная капелла исполняла какое-нибудь музыкальное произведение, за каждую следующую высокую оценку – новую вещь. В честь Карла музыка обычно играла четыре раза, так как у него бывало шесть высших отметок, один раз даже семь: всегда по немецкому языку, математика же чередовалась с другими предметами. Только с чистописанием Карл был не в ладах. 

Когда Карлу было пятнадцать лет, он вел книги у одной торговки ветчиной и маслом – это рассматривают как первую его встречу с математикой в жизни. Известно, что Карл и один из его товарищей по школе занимались самостоятельно математикой. Говорят, что товарищ был подавлен превосходством Карла и бросил математику, переключившись на другой интересовавший его предмет. 

1834: Вейерштрасс закончил с отличием гимназию в Падерборне и, по настоянию отца, поступил на юридический факультет Боннского университета. Проучившись 4 года, в течение которых вместо юриспруденции Вейерштрасс усиленно занимался математикой, он бросил университет и поступил в университет Мюнстера. 

1840: Вейерштрасс подготовил экзаменационную работу по теории эллиптических функций, в которой уже содержатся зачатки его будущих открытий. 

1841: в новой работе Вейерштрасс установил: если последовательность аналитических функций, равномерно сходится внутри некоторой области (то есть в каждом замкнутом круге, принадлежащем области), то предел последовательности – тоже функция аналитическая. Здесь ключевым условием является равномерность сходимости; это понятие и строгая теория сходимости стали одним из важнейших вкладов Вейерштрасса в обоснование анализа. 

1842: по окончании Академии получает место учителя в провинциальной католической прогимназии, где проработал 14 лет. Эти годы Вейерштрасс усиленно занимался математикой. Директор гимназии с уважением относился к его занятиям. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок и его ученики подняли шум в классе. Тогда директор сам пошел на квартиру к Вейерштрассу и обнаружил, что он всю ночь прозанимался математикой и, не заметив, что уже наступило утро, сидел с лампой, продолжая свои размышления. 

Навыки учителя в дальнейшем помогли Вейерштрассу стать лучшим преподавателем Германии, а редкое свободное время (чаще всего ночное) он использовал для математических исследований. Кроме математики, он вёл там занятия по физике, ботанике, географии, истории, немецкому языку, чистописанию и гимнастике. 

1854: Вейерштрасс публикует статью по абелевым функциям. Статья произвела большое впечатление в математических кругах и была признана лучшей работой в этой области после исследований Якоби. Как следствие, Кёнигсбергский университет сразу присуждает ему степень доктора honoris causa (почётного доктора без защиты диссертации). Дирихле присылает восторженный отзыв, благодаря которому Вейерштрасс получает звание старшего учителя и давно просимый годичный отпуск. 

Отдых он использовал для подготовки ещё одной блестящей статьи (1856). Александр фон Гумбольдт и Куммер помогли Вейерштрассу устроиться профессором сначала Промышленного Института в Берлине, а через пару месяцев – экстраординарным профессором Берлинского университета. Одновременно он избран членом Берлинской Академии наук. Берлинскому университету он отдал 40 лет жизни. 

С конца 1850-х годов международная известность Вейерштрасса быстро растёт. Этим он обязан великолепному качеству своих лекций. Вот список тематики его курсов: 

–Введение в теорию аналитических функций, включающее теорию действительных чисел. 

–Теория эллиптических функций, приложения эллиптических функций к задачам геометрии и механики. 

–Теория абелевых интегралов и функций. 

–Вариационное исчисление. 

1861: Вейерштрасс избран членом Баварской академии наук.

1864: назначен ординарным профессором.

1868: избран членом-корреспондентом Парижской академии наук. 

1870: знакомится с двадцатилетней Софьей Ковалевской, приехавшей в Берлин для подготовки диссертации. Нежное чувство к своей Sonja Вейерштрасс пронёс сквозь всю жизнь (он так и не женился). Вейерштрасс помогает Ковалевской выбрать тему диссертации и метод подхода к решению, в дальнейшем регулярно консультирует её по сложным вопросам анализа, содействует в получении научного признания. 

Ученики Вейерштрасса вспоминали, каким он был для них другом и советчиком – по отношению к Ковалевской эти качества проявились наивысшим образом. Учитель называл свою ученицу своим единственным настоящим другом и сам делился с нею своими раздумьями и сомнениями. Вейерштрасс пользовался огромным уважением и среди профессоров благодаря своему открытому характеру и благожелательному отношению к людям. В 1873 г. ему предложили пост ректора университета. 

1881: избран членом Лондонского королевского общества. 

1883: после самоубийства мужа Ковалевская, оставшаяся без средств с пятилетней дочерью, приезжает в Берлин и останавливается у Вейерштрасса. Ценой огромных усилий, используя весь свой авторитет и связи, Вейерштрассу удаётся выхлопотать ей место профессора в Стокгольмском университете. 

1885: 70-летие прославленного математика торжественно отмечается в общеевропейском масштабе. 

1889: Вейерштрасс сильно заболел. Ещё когда Вейерштрассу было только 35 лет, у него появились головокружения. Однажды среди лекции он вынужден был опуститься в кожаное кресло около кафедры, студенты вывели его и он долгое время оставался в постели и очень медленно поправлялся. Такие состояния повторялись у него на протяжении 12 лет, причем он впадал в полную апатию и не мог ничего делать. Врачи называли это «утомлением мозга». Позднее появилось расширение вен, ноги распухали и болели. Читая лекции, он сидел, а кто-нибудь из студентов выписывал формулы на доске. Последние годы жизни Вейерштрасс провел в кресле на колесах. 

1891: неожиданно умирает Софья Ковалевская. Потрясённый Вейерштрасс посылает цветы на её могилу и сжигает все письма от Ковалевской (письма от него сохранились и были в начале XX века опубликованы). Состояние Вейерштрасса заметно ухудшается, он редко встаёт, занимается редактированием своего сборника трудов.

Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ, теорию специальных функций, вариационное исчисление, дифференциальную геометрию и линейную алгебру. В математике Вейерштрасс стремился к ясности и строгости. Пуанкаре писал о нём: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у нее отнять».

До Вейерштрасса оснований анализа фактически не существовало. Даже Коши, который впервые ввёл стандарты строгости, многое молчаливо подразумевал. Не было теории вещественных чисел — превосходная статья Больцано (1817) осталась незамеченной. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо определения. Отсутствовала полная теория сходимости. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

Вейерштрасс завершил построение фундамента математического анализа, прояснил тёмные места, построил ряд доказательных контрпримеров (аномальных функций), например, всюду непрерывную, но нигде не дифференцируемую функцию.

Он сформулировал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого ε-δ-языка. Например, он строго определил на этом языке понятие непрерывности:

Функция f(x) непрерывна в точке  x = x₀, если для каждого (как угодно малого) ε >0 существует  δ>0 такое, что  |x – x₀| < δ ⇒ |f(x) – f(x₀)|< ε.

Одновременно он дал строгое доказательство основных свойств непрерывных функций. Приведенное определение, а также его определения предела, сходимости ряда и равномерной сходимости функций воспроизводятся без всяких изменений в современных учебниках.

Вейерштрасс систематически использовал понятия верхней и нижней грани и предельной точки числовых множеств.

Вейерштрасс доказал, что любая непрерывная функция допускает представление равномерно сходящимся рядом многочленов. Он далеко продвинул теорию эллиптических и абелевых функций, заложил основы теории целых функций и функций нескольких комплексных переменных. Создал теорию делимости степенных рядов.

Вариационное исчисление Вейерштрасс также преобразовал, придав его основаниям современный вид. Он открыл условия сильного экстремума и достаточные условия экстремума, исследовал разрывные решения классических уравнений.

В геометрии он создал теорию минимальных поверхностей, внёс вклад в теорию геодезических линий.

В линейной алгебре им разработана теория элементарных делителей.

Вейерштрасс доказал, что поле комплексных чисел — единственное коммутативное расширение поля действительных чисел без делителей нуля (1872).

О публикациях своих выдающихся лекций сам Вейерштрасс не заботился. Однако ещё при жизни начало выходить собрание его трудов; всего вышло 7 томов.

19 февраля 1897 года после продолжительной болезни Карл Вейерштрасс скончался от осложнений после гриппа.

В его честь был назван кратер на Луне. Имя Вейерштрасса носит математический институт  в Берлине.

Имя Вейерштрасса носят следующие математические объекты:

• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте
• Теорема Вейерштрасса о целых функциях
• Аппроксимационная теорема Вейерштрасса
• Теорема Больцано — Вейерштрасса
• Теорема Линдемана — Вейерштрасса
• Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса
• Аксиома Вейерштрасса
• Преобразование Вейерштрасса
• Признак Вейерштрасса
• Условие Вейерштрасса

По материалам Википедии и статьи П.Я. Полубариновой-Кочиной «КАРЛ ТЕОДОР ВИЛЬГЕЛЬМ ВЕЙЕРШТРАСС (к 150-летию со дня рождения)».