math4school.okis.ru

1804–1851

Жизнь богов есть математика… моя жизнь подобна жизни богов.

Карл Густав Якоб Якоби

Он проник почти во все области, разросшейся за 2000 лет до невероятных размеров науки. Всюду, куда устремлялся его творческий дух, им были получены важные и глубокие результаты, введены новые основополагающие идеи, математическая изощренность поднята на более высокую ступень.

Густав Дирихле

Карл Густав Якоб Якоби (10 декабря 1804 – 18 февраля 1851) – немецкий математик, внёсший большой вклад в комплексный анализ, линейную алгебру, динамику и другие разделы математики и механики. Первый математик еврейского происхождения, достигший профессорского звания в немецком университете.

Якоби родился в Потсдаме. Он был одним из четырех детей банкира Симона Якоби и рос в самых благоприятных условиях, в состоятельной семье с широким кругом интересов, в соприкосновении со всеми возможностями образования, которые давало то время. У Карла были сестра, Тереза, и два брата, Мориц и Эдуард. Семья Якоби принадлежала к высшим слоям еврейской общины Потсдама. В их доме говорили по-английски и по-французски. Постоянными гостями были высшие служащие провинции. После смерти отца его дело продолжил младший брат Эдуард, но неуспешно. В дальнейшем он руководил созданным им самим экономическим отделом газеты «Kreuzzeitung». Старший брат Карла, Мориц, учился в Берлинском и Геттингенском университетах, по окончании которых поступил на государственную службу. Позже он переехал к брату в Кёнигсберг. В 1835 году он получил приглашение в качестве экстраординарного профессора в университет города Тарту, а в 1837 году – в университет Санкт-Петербурга. О судьбе Терезы Якоби ничего не известно.

Свои первые познания в математике и языках Карл приобрел под руководством своего дяди Ф.А. Лемана, бывшего его единственным учителем на протяжении пяти лет. В возрасте неполных 12 лет в ноябре 1816 года он поступил во второй класс Потсдамской гимназии, откуда, по прошествии полугода был переведен в первый. Через четыре года обучение в гимназии успешно завершилось. Уже в старших классах он познакомился с эйлеровским «Introductio in analysis infinitorum».

В 1821 году неполных 16 лет от роду Якоби стал студентом Берлинского университета. До поступления в университет он носил имя Жак-Симон (Jacques-Simon). В студенческие годы он сменил веру на христианскую, а именно, на протестантскую и соответственно имя на Карл-Густав-Якоб. Позже новые поколения студентов звали его «дядя Жак». Следует отметить, что время после разгрома Наполеона в 1812 году, несмотря на «эдикт об эмансипации», было для немецких евреев весьма неблагоприятным. Обычной была практика притеснения и ограничения в правах. Вплоть до 1847 года евреи не могли быть «хабилитированы» в Пруссии. Единственную возможность университетской карьеры давала смена веры. Сам Якоби утверждал, что он сменил веру вследствие внутренних убеждений, полученных при изучении классической филологии, истории и философии. Фактически же вышло так, что смена веры позволила ему в дальнейшем стать первым еврейским математиком, который занял в Германии ведущее положение.

Первоначально Якоби увлекся древними языками и в течение некоторого времени был активным участником университетского семинара по классической филологии, руководимого профессором Бёком. Бытовавший в этих кругах идеал высокой чистой научной культуры и выработанная здесь система преподавания сыграли определяющую роль в его дальнейшей педагогической деятельности. Его знания языков, особенно древнегреческого, математики и истории, характеризовались преподавателями как отличные и весьма основательные. Его называли «универсальным умом, обладающим необычайными способностями и высоким духом, охватывающим и понимающим все без устали». Ему не хватало обычных университетских лекций, и тогда его учителями стали Эйлер, Гаусс, Лагранж, Лаплас, работы которых Якоби изучал. Особенно его восхищали труды Гаусса. В 20-летнем возрасте по окончании университета с большим успехом он выдержал государственный экзамен и тут же начал работу над докторской диссертацией.

Осенью 1825 году Якоби становится доктором. По отзывам экзаменатора, он продемонстрировал необычайную самостоятельность и оригинальность. Вследствие этого ему было разрешено совместить защиту докторской работы и «хабилитацию», т.е. одновременно получить и доцентуру. Читая лекции в Берлине, он, по свидетельству его тогдашних слушателей, выказал столь незаурядный педагогический талант, что уже после полугода работы в 1826 году по его желанию был послан как приват-доцент в университет Кёнигсберга на место умершего ординарного профессора математики Фридриха Вреде. В то время Кёнигсбергский университет (вместе с его астрономической обсерваторией) был одним из ведущих научных центров Германии. В нем работали философ и педагог Иоганн Фридрих Гербарт, астроном Фридрих Вильгельм Бессель и другие известные ученые. В то же самое время Крелль в Берлине основал свой знаменитый математический журнал «Чистой и прикладной математики» и тогда же началось сотрудничество Якоби с этим журналом.

В Кёнигсберге в течение семнадцати лет Якоби развил грандиозную деятельность сначала как доцент, а потом как экстраординарный (1827) и ординарный (1831) профессор. В качестве штриха, характерного для поведения Якоби, отметим, что при его вступлении в должность на кёнигсбергском факультете возникли известные трудности, «так как каждому из членов факультета он сказал что-нибудь язвительное». Но в конце концов победу одержало все-таки неоспоримое значение его научных достижений. Благодаря усилиям Бесселя, Якоби и физика Неймана Кёнигсбергский университет в первой половине XIX века превратился в крупнейший центр математических, физических и астрономических исследований.

С 1829 года Якоби – член-корреспондент Берлинской академии наук, с 1836 года – иностранный член и с 1844 года – действительный ординарный член академии.

11-го сентября 1831 года Якоби сочетался браком с Марией Швинк, дочерью крупного торговца из Кёнигсберга. Они имели трех дочерей и пятерых сыновей.

Якоби обладал не только тягой к чисто научному познанию, но и живой потребностью изложить познанное. Эта наклонность воздействовать на других выразилась в виде блестящего педагогического таланта. Существенную часть своего времени он тратил на образование своих учеников. Отличительной чертой его лекций была живая связь собственных научных исследований с учебным материалом. В лекциях не было ничего завершенного. Поставленные им исследовательские задачи разжигали интерес слушателей. Он вынуждал их к напряженной умственной работе. Этой же цели служил и физико-математический семинар, основанный совместно с Нейманом при поддержке Бесселя, на котором студенты занимались собственной научной работой. Фактически это была реформа методики преподавания. Семинар стал фундаментом, так называемой, кёнигсбергской научной школы и просуществовал более 100 лет.

Якоби был предназначен для того, чтобы создать большую школу, которой суждено было долгое процветание. Так называемая «кёнигсбергская школа», основанная Якоби и Францем Нейманом, была первым подобного рода явлением в Германии, приобретшим длительное влияние. Кёнигсбергский университет превратился в центр точных наук. Мощный импульс, исходивший от Якоби, распространялся далеко за пределы Кёнигсберга. Линдеман говорил «о длительном времени возрождения математики в Германии, которым мы обязаны кёнигсбергской школе». Все германские университеты испытали на себе ее воздействие. В Германии непосредственными учениками Якоби были такие известные ученые, как Кирхгофф, Клебш и Гессе. Более того, в то время почти все кафедры математики и математической физики немецких высших учебных заведений занимали питомцы кёнигсбергской школы.

Влияние Якоби распространялось и за пределами Германии. Ведущие математики Франции 40-х годов XVIII века Эрмит и Лиувилль, Кэли в Англии считали себя учениками Якоби.

Якоби был членом Лондонского Королевского общества, членом-корреспондентом Мадридской и Парижской академий. В 1830 году Якоби стал членом-корреспондентом, а затем в 1830 году и почетным членом Петербургской академии наук. Поддерживал тесные научные связи с российскими математиками: М.В. Остроградским, И.Д. Соколовым, О.М. Тихомандрицким, М.Д. Брашманом и другими. Его брат Мориц (Борис Семенович) Якоби, избранный в 1837 году академиком, жил и работал в Петербурге, занимаясь экспериментальным исследованием электрических явлений.

Исключительно энергичная деятельность Якоби в Кёнигсберге привела его в 1843 году к истощению сил. Почти год он вынужден был провести на отдыхе, путешествуя по Италии. Климат Кёнигсберга неблагоприятно влиял на его здоровье, поэтому он принял приглашение в Берлин, где ему была предложена чисто академическая должность без определенных педагогических обязанностей. Вместе с Дирихле, Штейнером и Миндингом, работавшими в Берлине, он содействовал подъему берлинской математической школы. Однако прежняя работоспособность больше к нему не возвращалась.

Якоби проводил исследования почти во всех областях математики. Его первой публикацией была диссертация. Его последняя публикация датирована 10-м января 1851 года, месяцем ранее смерти учёного. Чрезвычайно плодотворное математическое соревнование Якоби с Нильсом Хенриком Абелем привело к построению теории эллиптических функций. Центральной идеей было рассмотреть эллиптический интеграл первого рода не как функцию предела интегрирования, а наоборот, предела интегрирования – как функции интеграла. Беря синус и косинус полученной функции, Якоби получил эллиптические функции. Введение вместе с Абелем мнимых величин выявило двоякую периодичность эллиптических функций и придало теории необычайно элегантный вид, отмеченный Лежандром. Якоби ввел и изучил тета-функции, с помощью которых можно было выразить эллиптические, и которые сам он считал своим лучшим творением в чистой математике. Он вывел формулы для эллиптических интегралов третьего рода. Изучая сложение абелевых интегралов сначала в гиперэллиптическом случае, он доказал теорему Абеля в общем случае. Известна принадлежащая Якоби проблема обращения гиперэллиптических функций, разрешенная в общем виде лишь Риманом.

Он существенно продвинулся в решении задачи деления круга и ее приложений к теории чисел, в частности к теории кубических и биквадратичных вычетов. Ему принадлежит обобщение символа Лежандра и формулировки закона взаимности для степенных вычетов пятой и восьмой степеней. Суммы Якоби служат важнейшим инструментом исследования в теории чисел и арифметической геометрии до сегодняшнего дня.

Возникающие в вариационном исчислении дифференциальные уравнения носят имя Якоби. Он ввел и исследовал класс ортогональных многочленов, являющихся обобщением многочленов Лежандра – так называемые многочлены Якоби, и применил их к решению гипергеометрических дифференциальных уравнений. Ему принадлежат методы интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Его имя носит многообразие, обладающее структурой группы, соответствующее всякой алгебраической кривой. Он ввел в употребление функциональные определители – якобианы – и указал на их роль при замене переменных в кратных интегралах и при решении уравнений с частными производными. Он открыл закон инерции квадратичных форм.

Общепринятое обозначение частной производной круглым «∂», изредка применявшееся Лежандром, ввёл в общее употребление Якоби.

В области астрономии он провел численные исследования возмущений эллиптических орбит планет, продвинулся в решении задачи трех тел в небесной механике, указав для нее ряд новых методов, ввел канонические координаты, носящие его имя, доказал теорему исключения узлов, внес существенный вклад в решение задачи определения формы небесного тела. После смерти Бесселя он оказался его научным наследником, рассчитав движение планеты Нептун и тем самым предвосхитив ее открытие.

В физике он создал теорию Гамильтона–Якоби, оказавшуюся весьма плодотворной для дальнейшего развития механики. Он применил эллиптические функции в теории волчка и для расчета геодезических линий на эллипсоиде. Ему принадлежит доказательство теоремы Якоби–Пуассона о выводе новых интегралов из уже известных для произвольной системы дифференциальных уравнений механики. Он сформулировал принцип наименьшего действия в аналитической механике. Якоби отличала тонкая физическая интуиция. Он был единственным из ведущих ученых того времени, сумевшим понять работу Гельмгольца «О возникновении силы».

Помимо других качеств, отличало Якоби полное отсутствие завистливости. Когда его вечный научный соперник, Абель, опубликовал новую работу, во многом перекрывавшую результаты Якоби, он ограничился замечанием: «Это выше моих работ и выше моих похвал». Обширный класс интегралов получил название абелевых по предложению Якоби.

Во время путешествия по Италии в 1843 году в одной из застольных речей Якоби был назван представителем истинно практической науки, на что он возразил, что высшая наука, как и искусство, всегда непрактичны и что именно к этому он всегда стремился. В другом месте он заметил, что для науки особая честь – не иметь практической пользы. В письме к Лежандру он писал, что единственной целью науки является уважение человеческого духа и что при таком требовании вопрос о числах столь же ценен, что и вопрос о вселенной. Несмотря на то, что сам он занимался приложениями математики к физике и астрономии, постановку математических задач из физических соображений считал неестественной. Для него, как и для Эйлера с Лагранжем, математика оставалась аналитическим искусством, доставляющим удовольствие. Якоби вслед за Гауссом считал, что математика есть центр науки, что понятия математики есть понятия науки вообще, что все ученые должны стремиться стать математиками. Однажды он написал своему брату Морицу: «Жизнь богов есть математика… моя жизнь подобна жизни богов». Это понимание математики как чистой, не опирающейся на опыт и не зависимой от приложений науки, было перенесено как часть духа кёнигсбергской школы на другие университеты Германии в то время, когда их кафедрами математики руководили бывшие кёнигсбержцы.

В последние годы жизни Якоби увлекся политической деятельностью. Летом 1848 года в Конституционном клубе он выступил речью в защиту конституционной монархии, которая сопровождалась продолжительными аплодисментами, чем снискал неудовольствие тогдашнего министра Ладенберга. Первой реакцией властей было отклонение его кандидатуры на должность ординарного профессора Берлинского университета. Вскоре он получил уведомление об отказе короля выплачивать ему жалованье. Поскольку по состоянию здоровья он не мог вернуться в Кёнигсберг, то он перевез жену и 7 малолетних детей к своему другу Хансену, известному астроному, в то время как сам был вынужден жить в отеле Лондрес в Берлине. Лишь благодаря посредничеству Александра фон Гумбольдта и великодушию короля в конце 1849 года его жалованье было восстановлено и даже увеличено.

Волнения последнего года окончательно подорвали здоровье Якоби. После рождественских каникул в начале 1851 года он заболел гриппом. После недолгого выздоровления 11 февраля он заболел вновь, но теперь уже оспой. Скончался Карл-Густав Якоб Якоби 18 февраля 1851 года и похоронен на одном из кладбищ Берлина.

Полное собрание сочинений Якоби издано в 1881–1891 годах Берлинской академией в 8 томах.

В конце XX века – начале XXI века математика приобрела новое лицо. Самые абстрактные идеи и теории, возникшие как порождение чистой логики, неожиданно оказались в центре новых приложений. Более того, они оказались одной из основных движущих сил развития этих приложений. Теория эллиптических функций и теория тета-функций, суммы Якоби и круговые поля, якобианы алгебраических кривых – это весьма неполный перечень созданного Якоби, что спустя более 150 лет со времени их открытия составило математическую основу современных методов защиты информации. В этом и состоит, видимо, печать гения.

Именем Якоби назван кратер на Луне.

Якоби был избран:

• членом Берлинской академии наук (1836)
• членом Лондонского королевского общества (1833)
• членом-корреспондентом Парижской академии наук (1830)
• иностранным членом-корреспондентом Петербургской Академии наук (1830)
• почётным членом Петербургской Академии наук (1833)
• членом Венской академии (1848)
• член-корреспондент Мадридской академии (1848).

Имя Якоби носят следующие математические объекты:

• матрица Якоби
• метод Якоби для линейных систем
• метод Якоби для собственных значений
• метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду
• многочлены Якоби
• поле Якоби
• символ Якоби
• теорема Якоби – Пуассона
• тождество Якоби
• уравнения Гамильтона – Якоби
• уравнение Якоби
• условие Якоби
• эллиптическая функция Якоби
• якобиан, определитель Якоби.

По материалам статьи: Алешников С.И. «КАРЛ-ГУСТАВ ЯКОБ ЯКОБИ» (Вестник КГУ, 2005, вып. 1–2), сайта kazedu.kz и Википедии.