math4school.okis.ru

1862–1943

 

Мы должны знать – мы будем знать!

 Давид Гильберт 

 

Давид Гильберт (23 января 1862 – 14 февраля 1943) – немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910 – 1920-е годы, после смерти Анри Пуанкаре,  был признанным мировым лидером математиков.

Его называют последним всесторонним математиком и самым замечательным учителем математиков 20 века. Но биография у Гильберта была самая обыкновенная. Он родился в столице Пруссии – Кенигсберге незадолго до того, как Пруссия под руководством Бисмарка объединила все немецкие государства в новую (вторую) Германскую империю. Гильберт пережил взлет этой державы, а затем – ее распад в конце первой Мировой войны. Потом возникла недолговечная Веймарская республика; за нею последовали Гитлеровская империя и вторая Мировая война. Этих потрясений хватило бы на много жизней; но до поры, до времени Гильберт ухитрялся избегать участия в политике и войнах.

Давид Гильберт Родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии (после второй мировой войны – российский посёлок Знаменск Калининградской области). В семье, кроме Давида, была ещё дочь.

Свои первые уроки он получил дома, скорее всего от своей матери. В 8 лет Давид начал ходить в приготовительную школу королевского Фридрихсколлега, где давались уроки необходимые для гуманитарной гимназии. По традиции, после древних языков математика больше всего ценилась как средство укрепления силы и ума. Однако в Фридрихсколлеге ее преподавание шло на значительно худшем уровне, чем преподавание латинского и греческого. Естественные науки вообще не преподавались. Не сразу он нашел предмет, соответствующий его наклонностям. В сентябре 1879г. он перешел из Фридрихсколлега в Вильгельмгимназию, в которой уделялось значительно больше внимания математике и даже затрагивались некоторые новые достижения в геометрии.

В 1880 году закончил гимназию Вильгельма. Далее, в том же году, Гильберт поступил в Кёнигсбергский университет. Вопреки желаниям отца он записался не на юридический, а на математический курс. Здесь Гильберт подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем; позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

В 1892 году женился на Кэте Ерош. Гильберт был удачлив в дружбе, но не так везуч в семейной жизни. С женою Кете они жили, душа в душу; но единственный сын родился слабоумным, и врачи сказали, что так будет и впредь. Поэтому семьей Гильберта сделались его ученики почти из всех стран Европы и Америки. Гильберт регулярно устраивал совместные чаепития и турпоходы, во время которых математические дискуссии прерывались студенческим трепом обо всем на свете. Для чопорной немецкой профессуры такой стиль общения со студентами был непривычен; но авторитет Гильберта сделал его нормой в Геттингене, а ученики и стажеры разнесли эту норму по всему свету. В России ее внедрили Дмитрий Егоров, Николай Лузин и их ученики: Павел Александров, Павел Урысон, Андрей Колмогоров.

Уже в Кенигсберге Гильберт ощутил себя лидером среди сверстников в науке, хотя зазнайство было ему чуждо. Стать главою математической школы – такая мечта пришла на ум сама собой. Но где свить свое гнездо? Этот вопрос потребовал долгих раздумий. В Кенигсберге профессия математика была не в почете; в столичном Берлине слишком большую роль играли военные и чиновники. Зато тихий Геттинген, осененный славными именами Гаусса и Римана, оставался местом паломничества немецкой математической молодежи. В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переехал туда и успешно проработал до 1933 года – пока к власти не пришел Гитлер.

Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль, Джон фон Нейман, Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Эмми Нётер.

Подобно Гауссу, Гильберт начал свои исследования с алгебры. 19 век преобразил эту науку; пришла пора навести в ней порядок, и Гильберт начал реформу с теории чисел. Поводом стал заказ от Математического общества: сделать обзорный доклад о современном состоянии теории чисел и о перспективах ее развития. С этим заданием Гильберт справился бы за полгода, но увлекся этой работой на добрых 5 лет. В итоге "Доклад о числах" (1897) превратился в учебник объемом в 400 страниц, где отразились все яркие новинки.

В течение нескольких лет Гильберт работал над разрешением ряда проблем вариационного исчисления и теортей дифференциальных уравнений.

В истории теоремы Варинга, которая гласит, что для всякого натурального числа n можно подобрать такое натуральное число k, что любое натуральное число N будет суммой n-ых степеней k целых положительных чисел, последнее слово осталось за Гильбертом. Эта проблема была поставлена в 1782 году и по своему содержанию является элементарной. Несмотря на это, не была доказана в течение свыше ста лет. И только в 1909 году Гильберт дал доказательство, используя труднейшие выводы высшей математики.

После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в геометрию, причем сразу в две ее области: классическую геометрию Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. Среди всех векторных пространств, составленных из функций, Гильберт выделил самое удобное: то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством. Его геометрические свойства проявляются в решениях дифференциальных уравнений и в более сложных задачах "криволинейной" геометрии.

В евклидовой геометрии Гильберт хотел просто навести порядок. Ведь за 23 столетия требования к строгости рассуждений значительно выросли, и пробелы в тексте Евклида сделались нетерпимы. В 1899 году Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней и (казалось) не было пробелов. Гильберт подчеркнул логическое совершенство своей конструкции шутливой фразой: "Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"!

Этот успех внушил в 1920-х годах Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом. Вывод всех прочих утверждений из этих основ можно будет формализовать так, что он станет доступен вычислительной машине. Гильберт сознавал, что эта его надежда является гипотезой и требует тщательной проверки. В качестве контрольного примера он выбрал общую теорию множеств, а в ней – знаменитую континуум-гипотезу Кантора. Существует ли на отрезке несчетное множество мощности меньшей, чем сам отрезок? Безуспешно пытаясь построить такое множество, Георг Кантор довел себя до психического расстройства. Напротив, Гильберт попробовал доказать НЕДОКАЗУЕМОСТЬ континуум – гипотезы – и это ему удалось. Но когда он попытался доказать ее НЕОПРОВЕРЖИМОСТЬ, то потерпел неудачу. Успех в этом деле пришел лишь в 1963 году к американцу Полю Коэну и чеху Карелу Вопенке.

Такой результат немало порадовал бы Гильберта: он доказывает, что континуум-гипотеза является одной из необходимых аксиом теории множеств. Но при жизни Гильберта постигло в этой сфере тяжкое разочарование, В 1931 году молодой австриец Курт Гедель доказал, что утверждения вроде континуум-гипотезы (не доказуемые и не опровержимые) найдутся в ЛЮБОЙ системе аксиом. Были они в системе Евклида: таков "пятый постулат" о параллельных прямых. Есть они в теории множеств: такова "аксиома выбора", такова же континуум-гипотеза. Есть они даже в арифметике – и впредь будут во всякой формальной модели любой из областей математики!

Значит, надежда Гильберта на полную формализацию каждой области математики была ошибкой? Да, таков приговор природы; обжалованию он не подлежит. Но его можно воспринять и с оптимизмом: из теоремы Геделя следует, что развитие любой области науки никогда не прекратится! Правда, для этого придется регулярно изобретать новые определения и аксиомы, вытекающие из существа дела. На это способен только человеческий мозг, но не компьютер. Гильберт это знал по опыту; поэтому он не только огорчался, но и радовался поразительному открытию Геделя.

Но если изобретение универсальной системы аксиом не может стать единственным или главным знаменем для развивающейся математики, то, что нужно добавить к этому знамени? Ясно, что: решение новых задач! Эта работа приносит ученому все новые радости, побуждает его к новым усилиям. Значит, в любой момент времени все математики должны иметь ясное представление о важнейших не решенных проблемах своей науки. Долг сильнейших математиков – не только решать такие задачи, но и ставить новые проблемы на смену решенным. Гильберт вступил на этот путь в 38 лет – в 1900 году, когда он сделал на Парижском математическом конгрессе доклад "Математические проблемы", в котором формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, послуживший направляющим указателем приложения усилий математиков на протяжении всего XX века. С тех пор прошел целый век – и видно, что ни один математик не превзошел Гильберта своим влиянием на развитие науки.

Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики? Во-первых, обоснование ее новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой их этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, — наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е..., классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений.

К концу 20 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Но каждая решенная проблема породила букет новых проблем еще большей сложности и такой же красоты – так что Гильберт верно угадал самые перспективные точки роста на тысячелетнем древе математической науки.

Лет через 20 молодые ученики в шутку спросили Гильберта:

решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны!" Ученики опешили, а Гильберт объяснил: "Сама эта задача никому не нужна. Но подумайте: если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"

С 1902 года Гильберт – редактор самого авторитетного математического журнала «Mathematische Annalen».

В 1910-х годах Гильберт создаёт в современном виде функциональный анализ, введя понятие, получившее название гильбертова пространства. Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности.

В 1930 году, в соответствии с уставом университета, 68-летний Гильберт ушёл в отставку, хотя время от времени читал лекции студентам. Последнюю лекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году.

В последние 10 лет жизни он бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы. После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать.

Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования, спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил: «Математика в Гёттингене? Её больше нет».

Описывая предвоенную математику, Гильберт гордо говорил о "несомненном и непревзойденном превосходстве немецкой математики". После уничтожения немецкой науки нацистами от этого превосходства не оставалось и следа. Собрание сочинений Гильберта – памятник замечательному периоду истории немецкой науки. (Хочется надеяться, что и российскую, и украинскую математику, все еще замечательные, не ожидает судьба, подобная судьбе математической школы Гильберта.)

Ещё осенью 1925 года было определено, что Гильберт страдал злокачественной анемией. Умер Гильберт в возрасте 81-го года  14 февраля в военном 1943 году в Гёттингене. За его гробом шло всего около десятка человек. Похоронен на городском кладбище Гёттингена.

Герман Вейль так оценил роль Давида Гильберта в математике:

Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним. Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе.

Имя Гильберта носят следующие математические объекты:

• Аксиоматика Гильберта
• Гильбертов кирпич
• Гильбертово пространство
• Преобразование Гильберта
• Проблемы Гильберта
• Теорема Гильберта 90
• Теорема Гильберта о базисе
• Теорема Гильберта о сизигиях
• Теорема Гильберта о нулях
• Оператор Гильберта-Шмидта
• Финитизм Гильберта

 

По материалам Википедии и сайтов: univer.omsk.su, math.rsu.ru.