math4school.okis.ru

1906–1978

 

Теорема о неполноте Геделя, доказанная им в 1931 году, когда ему было 25 лет, перечеркнула основные правила современной науки точно так же, как это сделала общая теория относительности Эйнштейна пятнадцатью годами раньше. Гедель продемонстрировал, что элементарная арифметика неполна и будет оставаться таковой.

Дэвид Берлински

 

Курт Фридрих Гёдель (28 апреля 1906 – 14 января 1978) – австрийский логик, математик и философ математики, наиболее известный сформулированной и доказанной им теоремой о неполноте.

Курт Гёдель родился в австро-венгерском (моравском) городе Брюнн (ныне Брно, Чехия), в немецкой семье. Отец Курта, Рудольф Гёдель, был управляющим текстильной фабрики.

В 18 лет Гёдель поступил в Венский университет. Там он два года изучал физику, но затем переключился на математику.

Обычно Гёделя считают австрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии Гитлером автоматически стал гражданином германского Рейха. В 1940 году он уехал в США, причём из-за опасности пути через Атлантику во время войны поехал через СССР и Японию. В США он получил работу в знаменитом Институте перспективных исследований (Принстонский университет).

Ещё с 30-х годов у Гёделя обнаруживались признаки психических проблем, которые обычно носили скрытый характер, проявляясь в частных беспокойствах и излишней подозрительности, но в периоды обострений принимали более явные, навязчивые формы. Так в 1936 году у него развился параноидальный страх отравления. Опорой Гёделя в нелёгкое время была его жена Адель, кормившая его с ложки и буквально выходившая мужа. Из сохранившихся записей библиотечных запросов этого периода известно, что он изучал литературу по душевным расстройствам, фармакологии и токсикологии (особенно характерно неоднократное обращение к техническому справочнику по отравлениям угарным газом), что лишь осложняло впоследствии его лечение.

Позже, в Принстоне (1941), несмотря на улучшение общего состояния, Гёдель по-прежнему испытывал дискомфорт от присутствия агрегатов, способных, по его мнению, испускать отравляющие газы. По этой причине он даже распорядился вынести из их с Аделью квартиры холодильник и радиатор. Его одержимость свежим воздухом и подозрения по поводу холодильника сохранялись до конца жизни, а периоды умеренного оздоровления и ухудшения душевного состояния сменяли друг друга. Последние, впрочем, происходили всё чаще и были тяжелее. Так, кризис 1970-го года оказался гораздо хуже такового в 1936-м и сопровождался галлюцинациями, параноидальным поведением по отношению к докторам и коллегам. Стремительно ухудшалось и состояние здоровья Адель, теперь она не могла ухаживать за ним так, как раньше, а он, в свою очередь, – за ней. Огромную поддержку оказывал друг Гёделя Оскар Моргенштерн.

В феврале 1976 года паранойя Гёделя опять обострилась, начал снижаться вес и его уговорили на госпитализацию. Однако уже через неделю, даже не выписавшись, он вернулся домой. Подозрения касались теперь и жены – Моргенштерну и другим людям он рассказывал, что та якобы раздала в его отсутствие все его деньги. В июне Адель была госпитализирована (до августа). Гёдель проводил с ней, по-видимому, достаточно много времени и плохо питался. Осенью он ненадолго снова попал в больницу, где, как он сообщил, его якобы пытались убить. После возвращения домой состояние не улучшалось. Несмотря на уговоры друзей, от очередной госпитализации он отказывался.

В июле 1977 года Адель вновь попала в больницу, где пробыла до декабря. 26 июля умер Моргенштерн. Это событие и отсутствие жены оказали решающее влияние на состояние Гёделя в последующие несколько месяцев – анорексия и паранойя прогрессировали всё активнее. 29 декабря, следуя настояниям жены, возвратившейся около недели назад, Гёдель согласился на госпитализацию. Однако врачи никакую существенную помощь оказать уже не могли. Учёный скончался от «недоедания и истощения», индуцированных «расстройством личности», 14 января 1978 года в Принстоне, штат Нью-Джерси. 

Гёдель был логиком и философом науки. Наиболее известное достижение Гёделя – это сформулированные и доказанные им теоремы о неполноте, опубликованные в 1931 году и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

И вот в чём дело...

Курс геометрии, изучаемый в средних школах всего мира, базируется на «Началах» Евклида. Древний грек, живший еще в третьем веке до нашей эры, сформулировал несколько аксиом относительно свойств точек и прямых линий в плоскости, из которых следует справедливость множества полезных и важных геометрических теорем. Аксиомы Евклида просты и недоказуемы. Одна из них утверждает, что через две точки можно провести только одну-единственную прямую. Другая – что параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Эти утверждения принимаются как нечто очевидное и не требующее доказательств. Евклид, по сути дела, сумел представить всю геометрию с помощью небольшого числа верных и основополагающих утверждений, выражаемых весьма ясно и лаконично.

Математики решили, используя «метод» Евклида, попытаться подобным же образом представить другие разделы математики. Скажем, науку о числах.

Итальянский математик Джузеппе Пеано впервые сформулировал арифметику языком аксиом. Эти положения казались до смешного очевидны – существует ноль, за каждым числом следует еще число, – но на самом деле были удивительно исчерпывающими.

Работу Пеано продолжили выдающийся немецкий математик Давид Гильберт и его ученики. Гильберт пытался свести к системе аксиом всю математику. Он считал, что в таком виде ее можно будет ввести в вычислительную машину, запрограммированную таким образом, чтобы она по приказу оператора выдавала любые утверждения, следующие из этих аксиом. Таким образом, все возможные теоремы выдавались бы машиной, что обессмыслило бы работу, математика вообще, сведя ее к роли оператора вычислительного центра. Был бы создан математический робот, люди достигли бы вершин логики и получили электронного оракула, способного ответить на любой вопрос. Но надеждам Гильберта не суждено было сбыться.

В 1932 году появилась теорема Геделя (или так называемая теорема о неполноте). «Полнота» – это указание на то, что любая настоящая теорема может быть выведена из аксиом. А «состоятельность» предполагает отсутствие парадоксов, когда могут быть выведены как некоторые утверждения, так и утверждения, им противоположные. Так вот, из теоремы Геделя следует, что не существует полной формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики.

Работа Геделя произвела эффект разорвавшейся бомбы. Она заставила фон Неймана прервать курс лекций в Геттингене, а Гильберта – прекратить работу над своей программой, которая казалась ему такой многообещающей.

По утверждению Геделя, состоятельность и полноту какой-либо логической системы невозможно доказать с помощью вспомогательных средств самой этой системы. Можно, конечно, привлечь для доказательства методы более мощной системы, но сама эта более мощная система также не может доказать свою непротиворечивость своими методами, а значит, требуется следующая более мощная система. Как указывал Г. И. Рузавин, советский философ и математик, «получается целая иерархия формальных систем, каждая из которых будет превосходить предшествующую по силе средств формализации. На основании этого, на наш взгляд, можно утверждать, что полная формализация не может быть завершена на каком-то определенном историческом этапе развития математики».

Машина, работа которой основана на аксиомах Пеано, как утверждал Гедель, будет неспособна ответить на вполне определенную последовательность вопросов. Каковы эти вопросы, Гедель не сообщил. Но можно предположить, что в геделевском смысле приведенная ниже головоломка окажется неразрешимой. Построим последовательность целых чисел, начинающуюся с любого целого числа, причем каждое последующее число должно быть равно половине предыдущего, если оно четное, или предыдущему, умноженному на три и сложенному затем с единицей, если оно нечетное. Повторяя процедуру вычисления последующих чисел, мы в конце концов построим всю последовательность: 5, 16, 8, 4, 2, 1. Итак, мы пришли к единице. Оказывается, что, независимо от числа, с которого начинается последовательность, мы всегда приходим к единице, хотя доказательства этого факта не существует. Возможно, это связано с нашей неспособностью найти его, но может быть, это указывает и на недостатки, присущие самим фундаментальным основам арифметики.

Результат, полученный Геделем, выходит за пределы узких рамок арифметики, оказывая влияние также на кибернетику. Через некоторое время после открытия Геделя математик Тьюринг заметил, что все вычислительные машины могут быть заменены всего одним простейшим и даже очень медленным калькулятором, так как, если не ограничивать используемую память, такой калькулятор воспринимает программы произвольной длины и сложности. В принципе можно составить бесчисленное множество таких программ, но, к счастью, их можно объединить и хранить вместе, составив их полный перечень. Не все программы будут полезны, а из-за некоторых машина может даже входить в режим непрерывно и безостановочно повторяющихся вычислений. Если же все работает нормально, то в соответствии с приказами в программе машина в ответ на введенное в нее число печатает другое, т. е. производит вычисления: например, может напечатать квадрат какого-нибудь числа, удвоить его или вывести число, следующее за числом, введенным первоначально. Вообще эта машина может вычислять невероятно сложные функции введенного в нее исходного числа.

Функции, вычисляемые «машиной Тьюринга», являются по определению «вычислимыми», поэтому инструкции по их вычислению могут быть переданы разным машинам без опасения, что возникнут ошибки или неясности. Вместе с тем существуют функции, не поддающиеся вычислению, более того, они составляют подавляющее большинство, хотя трудно дать определение такой функции. Как ни странно, но пример невычислимой функции следует прямо из теории «машины Тьюринга». Если присвоить значение «единица» целому числу, соответствующему нормально работающей машине, то «ноль», напротив, будет соответствовать машине, вошедшей в режим безостановочных повторных вычислений. Таким образом, мы задали невычислимую функцию, и доказательство это повторяет доказательство, данное Куртом Геделем для логических систем. Зная эту функцию, мы можем сказать заранее, не прибегая к запуску в работу самой программы, остановится ли соответствующая машина или будет работать вхолостую.

Это не абстрактный вопрос: было бы очень удобно заранее знать, работает программа или нет, прежде чем запускать ее в машину. Результат Тьюринга подтвердил то, что пользователи машин уже чувствовали интуитивно: а именно, что не существует способа с уверенностью определить, как работает программа, кроме как испытать ее на практике.

Всегда ли остается неизвестной функция, не поддающаяся вычислению? Гедель ответил просто: даже если вычислены первые сто или тысяча значений этой функции, мы все равно ничего не узнаем о том, как вычислить последующее значение, так что требуются человеческий разум и творческие усилия, чтобы выйти из жестких рамок программирования для вычислительной машины. Снова и снова человек убеждается в том, что вычислительная машина удивительно прилежна и вместе с тем столь же глупа: она выполняет вычисления не думая, только по предварительно составленной подробной инструкции.

Геделю пришлось выслушать немало упреков в разрушении целостности фундамента математики. Он неизменно отвечал, что, по существу, основы остались столь же незыблемыми, как и прежде, а его теорема привела к переоценке роли интуиции и личной инициативы в одной из областей науки, в той, которой управляют железные законы логики, оставляющие, казалось бы, мало места для указанных достоинств.

Несмотря на уверения идеалистов, математика оказалась настоящим искусством, где есть место импровизации, и достойный пример творческого служения музе Математики дал сам Гедель в своих работах, написанных суховатым языком и касающихся, на первый взгляд, лишь существа проблемы.

Кроме того, Гёделю принадлежат работы в области дифференциальной геометрии и теоретической физики. В частности, он написал работу по общей теории относительности. В ней Гёдель предложил вариант решения уравнений Эйнштейна, из которого следует, что строение вселенной может иметь такое устройство, в котором течение времени является закольцованным (метрика Гёделя), что теоретически допускает путешествия во времени. Большинство современных физиков считают это решение верным лишь математически и не имеющим физического смысла.

Вклад Курта Гёделя в сами основы математики считается революционным, раздвинувшим границы этой дисциплины и оказавшим существенное влияние на общее мировоззрение и культуру XX века.

С 1993 года существует премия в области теории вычислительных систем имени Курта Гёделя, вручаемая ежегодно организациями ACM SIGACT (Special Interest Group on Algorithms and Computation Theory) и EATCS (European Association for Theoretical Computer Science) за выдающиеся труды по логике и теоретической информатике.

Имя Гёделя носят следующие математические объекты:

• гёделев номер
• теорема Гёделя о неполноте
• теорема Гёделя о полноте
• метрика Гёделя.

 

По материалам Википедии и сайта iomn.net .