math4school.okis.ru

1601–1665

 

Я установил множество исключительно красивых теорем.

Пьер де Ферма

 

Хотя Ферма и не удалось дать систематическое изложение теории чисел, все же современным развитием этой науки и присущей ей теперь внутренней связностью мы в значительной мере обязаны его открытиям и вызванным ими стремлениям доказать их справедливость.

Иероним Георг Цейтен

 

Пьер де Ферма (17 августа 1601 – 12 января 1665) – знаменитый французский математик. Широкой публике юрист по образованию Ферма известен, прежде всего, благодаря Великой теореме, носящей его имя. Однако Ферма занимался не только наиболее любимой им теорией чисел. Но и математическими проблемами, стоявшими в центре внимания ученых XVII века, а именно, задачами определения максимумов и минимумов, нахождения касательных, вычислений площадей, центров тяжести, длины дуг кривых, короче, теми вопросами, которые мы сейчас относим к математическому анализу или дифференциальному и интегральному исчислению. И здесь Ферма принадлежат самые крупные результаты, предшествующие созданию дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем. Кроме того, Ферма первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей.

Пьер Ферма родился в городке Бомон-де-Ломань (Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом, т.е. чем-то вроде помощника мэра. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери.

Маленький Пьер учился в родном городе у францисканцев, а заканчивать образование уехал в Тулузу, ближайший университетский город. К сожалению, об университетских годах Пьера Ферма ничего не известно, как неизвестны и его учителя. Можно лишь предполагать, что обучение было основательным: его знания главных европейских языков и литератур были обширными и глубокими; греческая и латинская филология обязаны ему некоторыми важными исправлениями; его познания поражали современников своей широтой и разносторонностью. Он с одинаковой легкостью писал стихи на родном, латинском, испанском языках.

Ферма получил юридическое образование – сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане. Надо думать, выбор факультета не был случайным. Его мать, Клер де Лонг, была из семьи юристов, так что Ферма с детства вращался в судейской среде. По окончании университета оп занялся, и с большим успехом, адвокатурой.

Однако с первых же лет самостоятельной деятельности он не мог ограничить круг интересов своей профессией. Работы над древними авторами и все усиливающийся интерес к математике занимали все его свободное время. Результаты этого не замедлили сказаться.

Уже в 1629 году Ферма справился с задачей своеобразной и трудной. В его распоряжении был латинский перевод математических работ Паппа. В этих работах содержался краткий пересказ предложений Аполлония. Ферма задался целью восстановить ход рассуждений знаменитого автора и исполнил свое намерение.

К 1629 году относится и одно из капитальных открытий Ферма – метод отыскания максимумов и минимумов.

Адвокатская практика Ферма проходила успешно, однако он решил перейти на государственную службу. Актом от 14 мая 1631 года Ферма зачисляется на должность чиновника (советник по приему жалоб) кассационной палаты Тулузского парламента. Парламентами во Франции в ту пору назывались окружные судебные органы. Здесь Ферма и прослужил до конца жизни, поднявшись до звания советника следственной палаты и имея репутацию глубокого знатока права и неподкупно честного юриста.

В этом же году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны – Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и учёным.

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности – частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.

При жизни Ферма о его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вёл с другими учёными. Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Да это и неудивительно при той напряжённой работе в суде, которую ему пришлось выполнять. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему учёных. Кроме этих трактатов осталась ещё обширная и чрезвычайно интересная его переписка.

В XVII веке, когда ещё не было специальных научных журналов, переписка между учёными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы.

Корреспондентами Ферма были крупнейшие учёные его времени: Декарт, Этьен и Блез Паскали, Гюйгенс, Торричелли, Валлис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту, либо в Париж аббату Мерсенну (соученику Декарта по колледжу); последний размножал их и посылал тем математикам, которые занимались аналогичными вопросами.

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины. Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский учёный Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми «параболами» и любыми «гиперболами». Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Таким образом, понятие «площади» у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к ещё более абстрактному понятию «интеграл».

Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка – коническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и применил аналитическую геометрию к пространству.

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля в 1654 году, в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

И всё же, главная же заслуга Пьера Ферма – создание теории чисел. Если в других работах Ферма исследовал темы, которые были в центре внимания и многих других математиков его времени, – Кеплера, Кавальери, Торричелли, Блеза Паскаля, Валлиса, – то в теории чисел он был первооткрывателем. Никто из его современников и никто из математиков, живших после него, вплоть до Эйлера, не понимал ни значения поднятых им проблем, ни внутренней их связи. Сам Ферма писал:

Арифметика имеет свою собственную область, теорию целых чисел; эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени); математики, следовательно, должны ее развить или возобновить.

Ферма удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений – так называемого метода неопределённого или бесконечного спуска.

Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам. Например, методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т.п. Диофант Александрийский (III век н.э.) в своей «Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга, хотя и не полностью, стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» в феврале 1657 года, он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля ах²+1=у²  в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.

Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел – арифметические теоремы. Несомненно, влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число а^р–1–1 всегда делится на p. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств. Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата.

В 1749 году Эйлер доказал ещё одну гипотезу Ферма, сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений, – простые числа вида 4k+1 (т.е. числа 5, 13, 17, 29...) представляются в виде суммы квадратов, причём единственным способом. Это предложение доказать совсем непросто. Никто из его современников не сумел его провести. Первое доказательство было дано только Эйлером. Ему это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска». Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

В задаче второй книги своей «Арифметики» Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал:

Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки.

Иначе говоря:

Для любого натурального числа п>2 уравнение

а^п + b^п= с^п

не имеет натуральных решений а, b и с.

Это и есть знаменитая Великая теорема Ферма.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке её исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах в алгебре.

Простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» её привели к широкой популярности теоремы среди нематематиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для п=4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая п=3, Дирихле и Лежандр в 1825 – для п=5 , Ламе – для п=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, с некоторыми возможными исключениями.

Окончательно доказана Великая теорема Ферма в 1995 году Эндрю Уайлсом. Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году, после 7 лет напряжённой работы, но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант доказательства, которое содержит 129 страниц и опубликован в журнале «Annals of Mathematics».

Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Ферма исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий принцип:

Природа всегда действует наиболее короткими путями,

который может считать предвосхищением принципа наименьшего действия Мопертюи – Эйлера.

Жизнь Ферма была бедна внешними событиями, но следы, оставленные им в математике, таковы, что интерес к его личности не ослабевает. Наследие Ферма неисчерпаемо по глубине содержания.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Около 1652 года жизнь учёного подверглась серьёзной опасности. Ферма даже пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре, в 1675 году, прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в церкви августинцев в Тулузе.

9 февраля 1665 года в «Журнале ученых» был помещен некролог Пьеру Ферма, в котором говорилось:

Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове.

Неоценимую услугу математике оказал сын Ферма, Самюэль. В 1679 году он издал труды отца под заглавием "Различные математические работы доктора Пьера де Ферма, выбранные из его писем или к нему написанных по математическим вопросам и по физике ученейшими мужами на французском, латинском или итальянском языках". К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце.

Именем Ферма названы:

• лицей Пьера де Ферма в Тулузе
• премия Ферма Математического института Тулузы (учреждена в 1989 году, сумма вознаграждения составляет примерно 20 000 евро и присуждается один раз в два года).

Имя Ферма носят следующие математические объекты:

• Великая теорема Ферма
• Малая теорема Ферма
• спираль Ферма
• теорема Ферма об условии локального экстремума функции
• числа Ферма
• точки Ферма
• теорема Ферма о многоугольных числах
• частное Ферма.

 

По материалам Википедии и книг: Д. Самин «100 великих учёных» (Москва, «Вече», 2000) и «Замечательные учёные» (под ред. С.П. Капицы, Москва, «Наука», 1980).