Предел и непрерывность функции

Предел функции y = f(x) при х → ∞

Вычисление пределов функции при х → ∞

Непрерывные функции

Теоремы про непрерывность функции

Замечательные пределы

Вычисление пределов функции в точке

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Записывают так:

lim _х→+∞ f(x) = b.

Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0. Прямая  называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).  

Например: lim _х→+∞ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х→–∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х < –М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Записывают так:

lim _х→–∞ f(x) = b.

В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции  y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.

Например: lim _х→–∞ (3 + 2^х) = 3 и функция y = (3 + 2^х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.

Наконец, прямая у = b  может быть горизонтальной асимптотой графика функции  и при х→+∞, и при х→–∞. Пишут так: х→∞.

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех x таких, что |х| > М, выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Записывают так:

lim _х→∞ f(x) = b.

Например: lim _х→∞ х²/(х²+1) = 1 и функция y = х²/(х²+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.

Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:

Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела:

Если lim _х→∞ f(x) = a, то lim _х→∞ k · f(x) = k · а.

Теорема о пределе суммы:

Если lim _х→∞ f(x) = a, lim _х→∞ g(x) = b, то lim _х→∞ (f(x) + g(x)) = а + b.

Теорема о пределе произведения:

Если lim _х→∞ f(x) = a, lim _х→∞ g(x) = b, то lim _х→∞ f(x) · g(x) = а · b.

Теорема о пределе частного:

Если lim _х→∞ f(x) = a, lim _х→∞ g(x) = b и b ≠ 0, то lim _х→∞ f(x) / g(x) = а / b.

Определение.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е.

lim _х→а f(x) = f(a).

Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия:

• функция y = f(x) определена в точке х = а, т.е. существует f(a);
• существует предел lim _х→а f(x) функции в точке х = а;
• предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке, т.е.

lim _х→а f(x) = f(a). 

Другими словами верно и такое

Определение.

Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, выполняется неравенство |f(x) – f(a)| < ε.

Определение.

Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Теорема 1:

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и функции  f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x) · g(x).

Теорема 2:

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а  будет непрерывной также функция f(x) / g(x).

Исходя из двух последних теорем можно утверждать:

• многочлен y = a₀ + a₁x + . . . + a_nxⁿ – непрерывная функция в любой точке а ∈ R;
• дробно-рациональная функция

        непрерывна во всех точках числовой оси, кроме нулей знаменателя;

• функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = a^x, y = log_ax, y = ⁿ√х, y = |x|, у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x также непрерывны во всех точках области определения.

Замечательные пределы – термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Следствия из первого замечательного предела: 

Второй замечательный предел:

lim _х→∞ (1 + 1/x)^x = e  или  lim _х→0 (1 + x)^1/x = e.

Следствия из второго замечательного предела:

Если y = f(x) непрерывна в точке х = а, то lim _х→а f(x) = f(a).

Если в результате подстановки х = а при вычислении предела получаем выражение типа 0 / 0, то имеет смысл попытаться воспользоваться одним из следующих приёмов:

• попробовать разложить числитель и знаменатель дроби на множители, выполнить сокращение, а затем найти предел;
• избавиться от иррациональности в знаменателе, а затем находить предел:
• преобразовать функцию так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом или его следствием.

Таблицы чисел 

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения