Степени

Загрузка ...

Степень с натуральным показателем

Степень с целым отрицательным показателем

Степень с рациональным показателем

Степень с иррациональным показателем

Свойства степеней

Степень с натуральным показателем

Степенью действительного числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

Первой степенью числа а называется само число а:

а¹= a.

В записи а^п= b число а называется основанием степени, число п – показателем степени, число b – значением степени.

Вторую степень числа а называют квадратом числа а, третью степень числа а называют кубом числа а.

Вычисление значения степени называют возведением в степень. Возведение в степень – действие третьей ступени. При вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени (возведение в степень), затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Степень с целым отрицательным показателем

Нулевая степень любого числа, отличного от 0, равна 1:

а⁰= 1.

Нулевая степень нуля, то есть выражение 0⁰, не определяется.

Для числа а, отличного от 0, степень с целым отрицательным показателем определяется так:

На практике часто бывает удобно следующее соотношение:

Выражение 0^–п, не определяется.

Степень с рациональным показателем

Степенью положительного числа а с рациональным показателем m/n, где m – некоторое целое число, n – натуральное, большее 2, называется корень n-й степени из а^m:

Нецелая степень отрицательного числа, например (–8)^1/3, не имеет смысла.

Степень с иррациональным показателем

Любое иррациональное число λ можно представить в виде предела последовательности рациональных чисел λ₁, λ₂, λ₃, ... :

λ = lim_n→+∞λ_n.

Тогда для положительного числа а существуют степени с рациональными показателями а^λ₁, а^λ₂, а^λ₃, ... В математике доказано, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности и называют степенью числа а с иррациональным показателем λ: