math4school.okis.ru

Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Записывают: с = log_a b, что означает a ^c = b. 

Из определения логарифма следует справедливость равенства: 

a ^log_a b = b, (а > 0, b > 0, a ≠ 1),

называемого основным логарифмическим тождеством.

В записи log_a b число а – основание логарифма, b – логарифмируемое число.

Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:

log_a 1 = 0,

log_a а = 1.

Первое следует из того, что a ⁰ = 1, а второе – из того, что a ¹ = а. Вообще имеет место равенство

log_a a ^r = r.

Свойства логарифмов

Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1), b, c справедливы следующие соотношения:

log_a (b · c) = log_a b + log_a c

log_a (b ⁄ c) = log_a b – log_a c

log_a b ^p = p · log_a b

log_a ^q b = 1/q · log_a b

log_a ^q b ^p = p/q · log_a b

log_a ^pr b ^ps = log_a ^r b ^s

log_a b = log_c b ⁄ log_c a  (c ≠ 1)

log_a b = 1 ⁄ log_b a  (b ≠ 1)

log_a b · log_b c = log_a c

c ^log_a b = b ^log_a c

Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то

log_a (b · c) = log_a |b| + log_a |c|

log_a (b ⁄ c) = log_a |b| – log_a |c| .

Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то

log_a b ^p = p · log_a |b|

log_a ^pr b ^ps = log_a ^r |b ^s|

log_a ^q b ^p = p/q · log_a |b| .

Для любых положительных, отличных от 1 чисел a и b верно:

log_a b > 0  тогда и только тогда, когда  a > 1  и  b > 1  или  0 < a < 1  и  0 < b < 1;

log_a b < 0  тогда и только тогда, когда  a > 0  и  0 < b < 1  или  0 < a < 1  и  b > 1.

Десятичный логарифм

Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.

Обозначаются символом lg:

log₁₀ b = lg b.

Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно  числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность

а_n = (1 + 1/n)ⁿ при n → +∞.

Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее: 

е = 2,718281828459045... .

Натуральный логарифм обозначаются символом ln:

log_e b = ln b.

Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.

Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;

так как ln 10 = 1 / lg e ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.