Три вероятностных задачи

Если вы случайно встретите двух сестер Джонс (предполагается, что эти две сестры случайным образом выбраны из множества всех сестер Джонс), то ровно в половине случаев окажется, что обе девушки будут голубоглазыми. Сколько всего голубоглазых сестер среди сестер Джонс?

По все вероятности, общее количество сестер – 4, а голубоглазых среди них - 3. Если есть всего n сестер, из которых b голубоглазых, то вероятность тoго, что две выбранные случайным образом девушки будут иметь голубые глаза, равна

Из условия задачи мы знаем, что эта вероятность равна ¹/₂, так что нам нужно найти целые значения для b и n, при которых вышеуказанное выражение будет равно ¹/₂. Наименьшими такими значениями являются n = 4, b = 3. Следующая пара n = 21, b = 15. Но поскольку семьи с количеством сестер 21 встречаются крайне редко, то наименьшим вариантом будет первый – всего четыре сестры, три из них голубоглазые.

Мэрвин кончает работу в случайное время между 15 и 17 часами. Его мать и его невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невестой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление.

Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Мэрвин, скажем, в

3 ⁰⁰,  3 ¹⁰,  3 ²⁰  и  т.д.,

поезда в противоположном направлении в

3 ⁰¹,  3 ¹¹,  3 ²¹  и  т.д.

Чтобы поехать к матери, Мэрвин должен попасть в одноминутный интервал между поездами указанных типов.

В 1958 году Джон Г. Фокс-мл. и Л. Джеральд Марни разработали необычную игру, которую они назвали Googol. Играют в нее так: попросите кого-нибудь взять произвольное количество листочков бумаги и написать на каждом из них различные положительные числа. Числа могут быть самыми различными: от самых малых долей единицы до гугола (так называют единицу с сотней нулей) или даже больше. Затем эти листочки надо разложить на столе цифрами вниз и перемешать. Здесь в игру вступаете вы.

Ваша задача брать листочки по одному и смотреть написанные на них числа. Дойдя до числа, которое, как вы полагаете, является наибольшим в данной серии, вы должны остановиться. Другими словами, вам нужно угадать наибольшее число из написанных. Однако возвращаться назад и смотреть числа из уже открытых листочков вам нельзя. Если вы перевернете все листочки, то должны будете назвать то число, которое написано на последнем листочке.

По мнению большинства людей, вероятность того, что вы угадаете наибольшее число, составляет не более ¹/₅. Однако если вы будете придерживаться наилучшей стратегии, вероятность составит немногим больше ¹/₃.  В свете этого возникают два вопроса.

Во-первых, какова наилучшая стратегия? (Здесь необходимо принять во внимание, что данный вопрос в корне отличается от вопроса о стратегии, стремящейся максимизировать значение выбранного числа.)

Во-вторых, если следовать наилучшей стратегии, как в этом случае подсчитать свои шансы на выигрыш?

Если листочков только два, вероятность выигрыша будет равна ¹/₂, вне зависимости от того, какой листочек выбран. Если количество листочков увеличивается, вероятность выигрыша (в предположении, что вы используете наилучшую стратегию) уменьшается, но кривая быстро выходит на горизонтальную асимптоту и при количестве листов больше 10 изменяется очень мало. Вероятность выигрыша никогда не опускается ниже ¹/₃. Многие люди полагают, что при использовании очень больших чисел задача усложняется, но на самом деле величина чисел не играет никакой роли. Необходимо только, чтобы числа на листках можно было расположить в порядке возрастания.

Этой игре можно найти много интересных применений. Например, девушка решает выйти замуж до конца года. По ее оценкам, она может встретить десятерых мужчин, которые сделают ей предложение, но в случае отказа уже не повторят его снова. Какой стратегии ей нужно следовать, чтобы максимально увеличить свои шансы выбрать лучшего мужчину из десятерых? И какова вероятность того, что будет выбран именно лучший вариант?

Наилучшая стратегия заключается в том, чтобы, отклонив несколько чисел на листочках (или предложений), выбрать следующее число, которое превосходит наибольшее из отклоненных чисел. Читателю остается только найти формулу для определения количества листочков, которые необходимо открыть, в зависимости от общего количества листков.

Вне зависимости от количества листков, с которыми проводится игра в «Гугол», вероятность выбора наибольшего числа (при использовании наилучшей стратегии) никогда не опускается ниже 0,367879. Эта величина, обратная числу е, и является предельным значением вероятности выигрыша, если количество листков стремится к бесконечности.

Если для игры используется десять листков (такое количество наиболее удобно), вероятность выбора наибольшего числа составляет 0,398. В данном случае самая лучшая стратегия заключается в том, чтобы перевернуть три листочка, определить наибольшее число из открытых и дальше переворачивать листки, пока не встретится еще большее число, на котором и следует остановиться. В этом случае, играя много партий подряд, вы будете выигрывать в двух из пяти партий.

Ниже приведен краткий вариант полного анализа игры, выполненного Лео Мозером и Дж. Р. Поундером из университета Альберты. Пусть n – это общее количество листков, а p – это количество листков, открытых до начала выбора числа, большего любого из открытых чисел, встретившихся на этих p листках. Пронумеруем листы последовательно от 1 до n. Пусть (k + 1) – это порядковый номер листка с максимальным числом. Чтобы играющий смог выбрать наибольшее число, k должно быть больше или равно p (иначе наибольшее число окажется на первых p карточках, которые нужно отклонить). К тому же необходимо, чтобы наибольшее число на карточках от 1 до k было также наибольшим на карточках от 1 до p (в противном случае мы, не дойдя до максимального числа, выбрали бы наибольшее из чисел на карточках от 1 до p).

Вероятность обнаружения наибольшего числа в том случае, если оно написано на (k + 1)-м листке, равна ^р/_k. Вероятность того, что наибольшее число действительно находится на (k + 1)-м листке, равна ¹/_n. Так как наибольшее число может быть только на одном листке, мы можем записать следующую формулу для вероятности его нахождения:

При заданном значении n (общего количества листков) мы можем определить оптимальное значение p (количество листков, которые нужно отклонить) – то значение p, при котором приведенное выражение достигает максимума. Если n стремится к бесконечности, ^р/_n стремится к ¹/_е. В этом случае хорошим приближением для p является ближайшее к ⁿ/_е целое положительное число. Итак, при игре с n листками общая стратегия такова: сначала нужно открыть ⁿ/_е листков, а затем выбрать следующее число, которое больше максимального из чисел, записанных на перевернутых ⁿ/_е листках.

Все эти рассуждения имеют смысл только в том случае, если играющий не имеет никакого представления о наибольшем и наименьшем числах на листках и поэтому не может делать выводы о том, насколько близко очередное открытое число находится к верхней границе. Если же игрок располагает какими-то сведениями, такой анализ неприменим. Допустим, что игра проводится с десятью однодолларовыми купюрами, а в качестве чисел используются серийные номера банкнот. Если в этом случае первая банкнота, которую вы вытащили, имеет номер, начинающийся с 9, вам лучше сразу признать это число наибольшим. По этим причинам общая стратегия игры в «Гугол» неприменима и для решения задачи о выборе для девушки наилучшего мужа. Многие читатели отмечали, что девушка, по всей вероятности, хорошо осведомлена о достоинствах своих ухажеров и имеет представление о мужчине своей мечты. Если первый же мужчина, который сделает ей предложение, окажется близок к ее идеалу, пишет Джозеф Робинсон, «она будет просто дурой, если не примет предложения».

Хотя разработка и решение этой задачи приписывается Фоксу и Марни, она, по всей вероятности, поднималась и раньше. Вообще, задача максимизации значения выбираемого объекта (а не вероятности выбора объекта с наибольшим значением), по имеющимся данным, впервые была поставлена знаменитым математиком Артуром Кэли (1821–1895) в 1875 году.  

Источник: Ф. Мостеллер "Пятьдесят вероятностных задач с решениями" (Москва, «Наука», 1985), М. Гарднер "Новые математические развлечения" (Москва, АСТ, 2008).

<<< Назад 

Задачи математических олимпиад. Элементы теории вероятностей

Принцип симметрии и случайные процессы