Когда произведение наибольшее?
Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.
x · y
Рассмотрим следующую задачу:
На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через
а/2 + x и a/2 – x;
число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а. Произведение обеих частей равно
(а/2 + x) · (a/2 – x) = a2/4 – x2.
Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х, т.е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0, т.е. в случае, когда обе части равны a/2.
Итак,
произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.
x · y · z
Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.
На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.
Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a/3.Тогда среди них найдется часть, большая a/3 (все три не могут быть меньше a/3); обозначим ее через
a/3 + x.
Точно так же среди них найдется часть, меньшая a/3 ; обозначим ее через
a/3 – y.
Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна
a/3 + y – x.
Числа a/3 и a/3 + x – y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а, а разность между ними, т.е. х – y, меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение
a/3 · (a/3 + x – y)
больше, чем произведение первых двух частей числа а.
Итак, если первые две части числа а заменить числами
a/3 и a/3 + x – y,
а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.
Пусть теперь одна из частей уже равна a/3. Тогда две другие имеют вид
a/3 + z и a/3 – z.
Если мы эти две последние части сделаем равными a/3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным
a/3 · a/3 · a/3 = a3/27.
Итак,
если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а3/27, т.е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а.
Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т.д.
xp · yq
Рассмотрим теперь более общий случай.
При каких значениях х и y выражение хpуq наибольшее, если х + y = а?
Надо найти, при каком значении х выражение
хр · (а – х)q
достигает наибольшей величины.
Умножим это выражение на число 1/рpqq. Получим новое выражение
xp/pp · (a – x)q/qq,
которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.
Представим полученное сейчас выражение в виде
x/p · x/p · ... · x/p · (a – x)/q · (a – x)/q · ... · (a – x)/q ,
где множители первого вида повторяются p раз, а второго – q раз.
Сумма всех множителей этого выражения равна
x/p + x/p + ... + x/p + (a – x)/q + (a – x)/q + ... + (a – x)/q =
= px/p + q(a – x)/q = x + a – x = a ,
т.е. величине постоянной.
На основании ранее доказанного заключаем, что произведение
x/p · x/p · ... · x/p · (a – x)/q · (a – x)/q · ... · (a – x)/q
достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т.е. когда
x/p = (a – x)/q .
Зная, что а – х = y, получаем, переставив члены, пропорцию
x/y = p/q .
Итак,
произведение хpyq при постоянстве суммы х + у достигает наибольшей величины тогда, когда
x : y = p : q.
Таким же образом можно доказать, что
произведения
xpyqzr, xpyqzrtu и т.п.
при постоянстве сумм x + y + z, x + y + z + t и т.д. достигают наибольшей величины тогда, когда
х : у : z = p : q : r, х : у : z : t = p : q : r : u и т.д.
Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970).
Смотрите так же:
Геометрические задачи на максимум
Задачи математических олимпиад. Суммы и произведения
Задачи математических олимпиад. Оценки для наборов чисел и таблиц. Принцип крайнего