Теорема Наполеона

Известно, что Наполеон Бонапарт (1769–1821) увлекался математикой, больше всего – геометрией. В частности, известен его способ деления окружности на четыре равные части с помощью только циркуля. Будучи политическим деятелем, Наполеон всегда высоко ставил роль науки и учёных в строительстве государственности. Так о математике он говорил:

Процветание и совершенство математики тесно связаны с благосостоянием государства.

Как-то Наполеон, который тогда еще не был правителем Франции, спорил с известными математиками Лагранжем и Лапласом. Во время одной из дискуссий Лаплас прервал Наполеона словами:

 Меньше всего мы желаем, чтоб вы, генерал, учили нас геометрии!

Интересно, что в дальнейшем Лаплас стал главным военным министром Наполеона.

Теорема, о которой пойдёт речь впервые была опубликована английским математиком Уильямом Резерфордом (1798–1871) в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона. Хотя Наполеон и занимался геометрией достаточно серьёзно и небезуспешно, как для непрофессионального математика, многие специалисты сомневаются в том, что он является автором теоремы, названной его именем. А теперь к сути.

Если на сторонах треугольника построить правильные треугольники, то получим конфигурацию из четырех треугольников, которую называют треугольниками Наполеона. Окружности, описанные вокруг построенных правильных треугольников, называют окружностями Торричелли.

Именно Наполеону Бонапарту – императору Франции и великому полководцу – история приписывает изучение этой конфигурации, формулировку и доказательство утверждения, известного как теорема Наполеона:

Если на сторонах произвольного треугольника извне его построены равносторонние треугольники, то их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

В различных источниках приводятся разные доказательства теоремы Наполеона. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа. С одним из элементарных доказательств, основанном на применении теоремы косинусов, можно познакомиться на сайте "Математика, которая мне нравится". Мы докажем теорему Наполеона, используя свойства окружности.

Пусть на сторонах треугольника АВС построены равносторонние треугольники АВС₁, А₁ВС и АВ₁С; ω₁, ω₂ и ω₃ – окружности, описаны вокруг этих треугольников (соответственно). Докажем, что ω₁, ω₂ и ω₃ пересекаются в одной точке – точке Торричелли.

Обозначим точку пересечения окружностей, описанных вокруг треугольников А₁ВС и АВ₁С, как М. Тогда

∠АМС = 180° – 60° = ∠ВМС.

Отсюда

∠АМВ = 360° – 2 · 120° = 120°,

и точка М лежит на окружности, описанной вокруг АВС₁. Прямые О₁О₃ и О₁О₂ перпендикулярны к общим хор­дам АМ и ВМ окружностей ω₁ и ω₃, ω₁ и ω₂ соответственно.

Тогда

∠О₁ + ∠АМВ = 180°,

∠О₁ = 180° – ∠АМВ = 60°.

Аналогично:  ∠О₂ = ∠О₃ = 60°, и треугольник О₁О₂О₃ – правильный. Теорема Наполеона доказана.

Мы строили правильные треугольники извне заданного треугольника на его сторонах. Их ещё называют внешними треугольниками Наполеона для заданного треугольника. По аналогии, если правильные треугольники строят на сторонах треугольника внутрь его, то их называют внутренними треугольниками Наполеона для заданного треугольника. Треугольник с вершинами в центрах внутренних треугольников Наполеона также является правильным. 

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников теоремой Петра-Дугласа-Неймана: 

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является утверждение называемое первой теоремой Тебо:

Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.

Следует, пожалуй, упомянуть ещё один математический факт, опубликованный фламандским математиком ван Обелем (Henricus Hubertus van Aubel) в 1878 году, из которого теорема Тебо следует естественным образом: 

Если на сторонах произвольного несамопересекающегося четырёхугольника построить квадраты внешним образом и соединить центры противоположных, то полученные отрезки будут равны и перпендикулярны.

Источники: Г.В. Апостолова. Геометрия 8 (Киев, "Генеза", 2008), Википедия. 

  <<< Назад

Треугольники

Четырёхугольники

Окружность