Палитра вероятностей
Математика сродни искусству, искусство математики – фразы, которые уже стали расхожими. Но если различие мнений, суждений и выводов о картине или романе – это вещь естественная, то в математике, как правило, вопрос имеет единственно верный ответ, не зависящий от чувства вкуса, воспитания или личных предпочтений каждого из нас. Выбором и поиском такого единственного ответа мы сейчас и займёмся.
Задача. На полке расставлены в один ряд 6 одинаковых баночек: 3 – с черной краской и 3 – с красной. Не глядя на наклейки, наугад снимают с полки 3 баночки. Какова вероятность, что эти баночки содержат краску одного цвета?
Попытка решения 1
Комплект из трех баночек, снятых наугад с полки, может содержать:
Каждый комплект трех баночек – возможный исход. Всего 4 возможных исхода. Из них два удовлетворяют требованию задачи, два остальных нет. Следовательно, вероятность события А (взятые наугад три баночки содержат краску одного цвета – 3 с красной краской или 3 с чёрной краской) равна
Р (А) = 2/4 = 1/2.
Попытка решения 2
Раздвинем баночки на полке, не глядя на этикетки, – 3 налево и 3 направо. При этом могло так случиться, что:
- слева оказались 3 баночки одного цвета, справа – другого – благоприятный случай:
- слева две баночки с чёрной краской и одна с красной:
- слева две баночки с красной краской и одна с чёрной:
Оба последних случая неблагоприятны. Следовательно, вероятность события А равна:
Р (А) = 1/3.
Попытка решения 3
Полный набор равновозможных исходов можно составить из следующих восьми комбинаций (в каждой 3 баночки):
Из них 2 комбинации в пользу задуманного события А. Следовательно,
Р (А) = 2/8 = 1/4.
Получилось, что одно и то же событие в условиях одного и того же опыта имеет три разные меры вероятности: 1/2, 1/3, 1/4.
Вот такой казус! Какой же результат верен?
Расследование
Правильный результат не получен ни в одном из трех предыдущих решений, хотя в рассуждениях все верно, кроме признания равновероятными предположенных исходов-комбинаций в каждом решении. В любой попытке решения следовало бы учитывать количество реально возможных комбинаций (из шести баночек по три).
Так, в попытке решения 1 действительно возможно лишь одно формирование трех баночек, ведущее к появлению события
и одно, ведущее к появлению события
но появление событий вида:
возможно в девяти случаях каждое. В самом деле, например, для формирования комплекта
две баночки с черной краской могут быть выбраны из имеющихся трех:
по воле случая тремя способами:
К каждой из этих пар может присоединиться какая-либо одна из трех баночек с красной краской:
Образуется 3 · 3 = 9 комбинаций вида:
Аналогично образуется 9 комбинаций вида:
Окончательное число способов формирования комплектов-исходов вида:
равно 1 + 1 + 9 + 9 = 20 с вероятностью 1/20 для каждого из исходов вида:
и с вероятностью 9/20 для каждого из исходов вида:
Тогда вероятность события А равна
Р (А) = 1/20 + 1/20 = 2/20 = 1/10.
Источник: Б.А. Кордемского «Великие жизни в математике» (Москва, «Просвещение», 1995)
Смотрите так же:
Задачи математических олимпиад. Элементы теории вероятностей