Геометрические задачи на максимум

Сравним между собой несколько различных прямоугольников, имеющих одинаковый периметр, равный, скажем, 12 см. Продолговатые низкие прямоугольники, ширина которых близка к 6 см, имеют незначительную площадь, тем меньшую, чем меньше их высота; точно так же площадь узких высоких прямоугольников тем меньше, чем эти прямоугольники уже. Сравнительно большую площадь имеют прямоугольники с некоторыми промежуточными пропорциями. 

Встает вопрос:

какой же именно из всех прямоугольников с периметром 12 см имеет наибольшую площадь?

Такова типичная схема задачи на максимум. Приведенная задача, вероятно, самая простая и самая древняя из всех задач подобного рода. Именно поэтому на ней лучше, чем на какой-либо другой, можно разъяснить сущность задач на максимум, что мы и сделаем, прежде чем перейти к разбору того вопроса, которому, собственно, посвящена настоящая тема.

В VI книге Евклида эта задача решается следующим приемом, принцип которого мы сохраним полностью, видоизменив несколько лишь форму изложения. Возьмем произвольный прямоугольник ABCD с заданным периметром U и построим, как это показано следующем рисунке, квадрат BEFG со стороной  ^U/₄  и, следовательно, с тем же самым периметром U; мы утверждаем, что

этот квадрат как раз и представляет собой решение нашей задачи,

т.е. что его площадь больше площади прямоугольника.

При том  расположении квадрата и прямоугольника, которое мы видим на рисунке, у них есть общий (окрашенный в более темный цвет) прямоугольник S. Квадрат состоит из этого заштрихованного прямоугольника S и части Р; данный прямоугольник ABCD состоит из заштрихованного прямоугольника S и части Q. Но так как полупериметр квадрата

GB + ВЕ

равен полупериметру прямоугольника

АВ + BC,

то

AG + GB + BC = GB + BC + СЕ,

откуда

AG = CE,

т.е. высота прямоугольника P равна ширине прямоугольника Q. Что же касается другого измерения прямоугольника P, то им служит сторона квадрата, между тем как второе измерение Q есть лишь часть стороны квадрата и, следовательно, короче ее. Но из двух прямоугольников, имеющих по одной равной стороне, тот больше, у которого больше вторая сторона.

Таким образом, площадь Р больше площади Q и, следовательно,

P + S > Q + S,

т. е. у квадрата площадь больше, чем у прямоугольника. Сторона прямоугольника Q будет тогда равна стороне квадрата, когда за основной прямоугольник взят квадрат; в этом и только в этом случае мы имеем равенство рассматриваемых площадей. Таким образом,

квадрат действительно по площади больше всех других прямоугольников равного с ним периметра.

Если х и у – длины сторон прямоугольника в сантиметрах, то полученный результат показывает, что ху – число, измеряющее в квадратных сантиметрах площадь прямоугольника, – меньше площади квадрата с периметром

х + у + х + у = 2 · (х + у).

Сторона такого квадрата равна четвертой части этой величины, т.е. 

а площадь его получится, если эту дробь возвести в квадрат. Переходя с излюбленной греками геометрической формы изложения на язык формул, получаем, что:

два любых положительных числа всегда удовлетворяют соотношению 

или 

т.е. среднее геометрическое двух чисел меньше или равно их среднему арифметическому;

равенство возможно лишь в том случае, когда равны сами эти числа (х = у).

Подобно этому, теорему о среднем геометрическом и среднем арифметическом трех величин: 

можно сформулировать как утверждение о том, что

из всех прямоугольных параллелепипедов с данной суммой длин ребер наибольший объем имеет куб.

Теперь ясно, что такое задача на максимум и что мы понимаем под решением ее. Решить такую задачу – это значит указать ее ответ и доказать, что этот ответ при сравнении со всеми другими возможными превосходит их в отношении исследуемого свойства (в данном случае – величины площади).

Обратимся к основной теме этой статьи, а именно к задаче об отыскании среди всех вписанных в данный круг треугольников такого, который имеет наибольшую площадь. Одно место в «Меноне» Платона позволяет предполагать, что эта задача была, по-видимому, поставлена, если и не разрешена, еще во времена Платона, т.е. за сто лет до появления «Начал» Евклида. Впрочем, нижеследующее доказательство, которое, если судить по его стилю, вполне могло бы быть известно древним, не встречается ни у Евклида, ни в современной ему литературе.

Наряду с каким-либо вписанным в наш круг треугольником ABC рассмотрим равносторонний треугольник А₀В₀С₀, вписанный в тот же самый или в равный ему круг.

Площадь этого треугольника – вполне определенная величина и не зависит от его положения внутри круга. Мы утверждаем, что

равносторонний треугольник имеет большую площадь, чем всякий другой треугольник, вписанный в такой же круг,

т.е. что этот треугольник представляет собой решение нашей задачи.

Для доказательства будем исходить из того, что вершины равностороннего треугольника делят окружность на три равные дуги; для всякого же другого треугольника получаем три какие-либо, вообще говоря, неравные дуги, также дающие в сумме полную окружность. Заметим, что, по крайней мере, одна из этих трех дуг должна быть меньше трети полной окружности и хотя бы одна – больше этой трети. Ибо если бы не оказалось ни одной дуги, меньшей трети окружности, то все эти три дуги вместе дали бы сумму, большую целой окружности, за исключением случая, когда каждая из них была бы в точности равна трети окружности, т.е. случая равностороннего треугольника, который мы предполагаем здесь исключенным. Точно так же мы заключаем, что одна из трех дуг должна превышать треть окружности.

Вопрос о том, больше или меньше трети окружности третья дуга, остается при этом открытым; ничего определенного по этому поводу высказать нельзя,  да в этом и нет необходимости.

Пусть вершины заданного нам произвольного треугольника обозначены таким образом, что дуга АВ составляет меньше трети, а дуга ВС – больше трети полной окружности.

Отложим на дуге CB, начиная от точки C, дугу CB'', равную АВ, так что треугольник CAB'' будет зеркальным отображением треугольника АСВ относительно диаметра круга, перпендикулярного АС. Кроме того, от точки A по направлению к B отложим дугу АВ', равную трети окружности. Точка B' будет лежать от A во всяком случае дальше, чем B, так как по условию дуга АВ меньше трети окружности. С другой стороны, точка B' должна лежать перед B", т.е. между точками B и B". В самом деле, если бы она лежала за В", то дуга АВ была бы больше дуги АВ''; но последняя равна своему зеркальному отображению CB, а поскольку, по предположению, CB больше трети полной окружности, то дуга АВ'', а следовательно и дуга АВ', должна была быть больше трети окружности, между тем как дуга АВ' по построению как раз равна трети окружности. Так как точка B' лежит между B и B'', то вершина треугольника АСВ' расположена выше вершины треугольника АСВ, имеющего то же самое основание АС. В силу известной теоремы о площади треугольника, равной половине произведения основания на высоту, площадь треугольника АСВ' будет больше площади треугольника АСВ.

Таким образом, мы нашли новый треугольник АСВ', вписанный в тот же самый круг и имеющий площадь большую, чем первоначально данный нам треугольник; одна сторона этого нового треугольника, именно АВ', равна стороне вписанного в тот же круг равностороннего треугольника.

Возможно, что построенный нами треугольник АСВ' окажется уже равносторонним. Это произойдет в том случае, если дуга АС, стягиваемая одноименной стороной данного треугольника, в точности равна трети окружности. В этом случае наше доказательство того, что равносторонний треугольник по площади больше данного неравностороннего треугольника, было бы уже закончено.

В противном случае примем за основание всей нашей фигуры вместо АС, выступавшего в этой роли до сих пор, сторону АВ'. Для этого нужно только повернуть всю фигуру против часовой стрелки, пока АВ' не примет горизонтального положения, как на следующем рисунке и применим по отношению к треугольнику АВ'С с основанием АВ' те же самые рассуждения, какие мы применили только что по отношению к треугольнику АСВ с основанием АС.

Для этого от точки B' по направлению к С отложим по окружности дугу В'С', равную трети полной окружности, так что точка С' вместе с А и В' образует равносторонний вписанный в круг треугольник, равный треугольнику А₀В₀С₀. По аналогии с предыдущим мы убеждаемся в том, что этот равносторонний треугольник имеет площадь еще большую, чем треугольник АВ'С, а следовательно, и большую, чем первоначально данный треугольник, если только последний сам не равносторонний.

Итак, мы приходим к выводу, что

равносторонний треугольник действительно имеет большую площадь, чем всякий другой треугольник, вписанный в тот же самый круг.

С помощью подобных же рассуждений можно показать, что

из всех n-угольников, вписанных в один и тот же круг, правильный n-угольник имеет наибольшую площадь.

В дальнейшем нам понадобится следующее чрезвычайно простое предварительное замечание:

если дан какой-либо вписанный в  круг n-угольник, то в тот же самый круг можно вписать новый n-угольник, стороны которого равны по величине сторонам первого n-угольника, но расположены в иной, произвольно выбранной последовательности.

Для этого стоит только разбить круг радиусами, проходящими через вершины данного n-угольника, на n секторов, представить себе, что эти секторы вырезаны, положим, из картонного диска, и тогда легко будет непосредственно убедиться в том, что из этих секторов при расположении их в каком-либо ином, новом порядке можно опять составить тот же самый круговой диск. При этом получается и новый n-угольник. Очевидно, что площадь его от такой перестановки секторов не меняется.

Приняв во внимание это замечание, мы можем приступить к доказательству нашего утверждения. Как и в случае треугольника, начнем с утверждения, что одна какая-либо сторона вписанного в круг неправильного n-угольника должна стягивать дугу, меньшую ¹/_n доли полной окружности, а какая-нибудь другая – большую. Однако здесь уже нельзя утверждать, что обе эти стороны расположены рядом. В треугольнике это неизбежно, так как каждая из трех его сторон примыкает к обеим другим, но n-угольник с более чем тремя сторонами этим свойством уже не обладает. Тем не менее, на основании сделанного замечания, если рассматриваемые две стороны не смежные, в тот же самый круг можно вписать новый n-угольник той же самой площади, в котором эти стороны окажутся соседними.

Обозначим меньшую из этих сторон через АВ, большую – через ВС. Тогда от точки A по направлению к В можно отложить дугу АВ', равную в точности ¹/_n доле целой окружности, и, так же как и прежде, убедиться в том, что точка В' должна расположиться между В и ее зеркальным отображением В". Если поэтому вершину В в данном нам n-угольнике заменить через В', сохранив все другие вершины без изменения, то площадь n-угольника при этом увеличится, а одна сторона станет равной стороне правильного вписанного n-угольника. Точно так же мы поступим последовательно и со всеми остальными n – 1 сторонами нашего n-угольника, пользуясь в случае надобности нашим предварительным замечанием. В результате мы убедимся, что данный n-угольник меньше по площади того правильного n-угольника, к которому мы должны будем прийти с помощью наших построений, при которых все стороны данного n-угольника, одна за другой, делаются последовательно равными сторонам правильного n-угольника.

Точно таким же способом можно показать, что

из всех n-угольникoв, описанных около данного круга, правильный имеет наименьшую площадь.

Источник: Ганс Радемахер, Отто Тепліц. Числа і фігури (Тернопіль, «Навчальна книга – Богдан», 2010).

  <<< Назад

И вновь о седних...

Когда произведение наибольшее?