Значения sin 18° и sin 54°
Поставим перед собой задачу найти значения синуса 18° и синуса 54°. Задание, прямо скажем, не самое сложное, но по-своему интересное. Заметим, обычно тригонометрические выводы формул для sin 18° и sin 54° опираются на формулу синуса тройного аргумента, не являющуюся обязательной к изучению в школьном курсе математики. Предлагаемый же здесь вывод в применении этой формулы не нуждается.
Итак, начнём! Воспользуемся формулами для синуса двойного аргумента и преобразования произведения синусов в разность косинусов:
| 4 · sin2 18° = | 2 · sin 18° · sin 36° | = | cos 18° – cos 54° | = | 1 – | sin 36° | = 1 – 2 · sin 18°. |
| cos 18° | cos 18° | cos 18° |
Таким образом можно записать:
4 · sin2 18° + 2 · sin 18° – 1 = 0.
Посмотрим на это равенство, как на квадратное уравнение с неизвестным х = sin 18° и решим его. Из двух полученных корней выберем тот, который удовлетворяет условию sin 18° > 0. Таким образом,
| sin 18° = | 1 | · | (√5 – 1). |
| 4 |
Для вычисления sin 54° поступим аналогично:
| 4 · sin2 54° = | 2 · sin 54° · sin 108° | = | cos 54° – cos 162° | = | 1 + | sin 108° | = 1 + 2 · sin 54°. |
| cos 54° | cos 54° | cos 54° |
Запишем
4 · sin2 54° – 2 · sin 54° – 1 = 0,
решим квадратное уравнение
4 · х2 – 2 · х – 1 = 0
и в качестве значения sin 54° выберем то из его решений, которое больше нуля, а именно, –
| sin 54° = | 1 | · | (√5 + 1). |
| 4 |
Смотрите так же: