Трудная задача
Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868–1945) "Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского" известна многим. На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме.
Учитель – реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833–1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.
Однако, при всей известности картины мало кто из видевших её вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:
| 102 + 112 + 122 + 132 + 142 |
| 365 |
Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.
Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:
102 + 112 + 122 = 132 + 142.
Действительно, так как
100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365,
то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.
Википедия для подсчета значения числителя предлагает следующий способ:
102 + 112 + 122 + 132 + 142 =
= 102 + (10 + 1)2 + (10 + 2)2 + (10 + 3)2 + (10 + 4)2 =
= 102 + (102 + 2·10·1 + 12) + (102 + 2·10·2 + 22) + (102 + 2·10·3 + 32) + (102 + 2·10·4 + 42) =
= 5·100 + 2·10·(1 + 2 + 3 + 4) + 12 + 22 + 32 + 42 =
= 500 + 200 + 30 = 730 = 2·365.
Как по мне, – слишком мудрено. Проще поступить иначе:
102 + 112 + 122 + 132 + 142 =
= (12 – 2)2 + (12 – 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2 =
= 5·122 + 2·4 + 2·1 = 5·144 + 10 = 730,
а далее уже
| 730 | = 2. |
| 365 |
Приведенные рассуждения вполне можно осуществить устно – 122, конечно, нужно помнить, удвоенные произведения квадратов двучленов слева и справа от 122 взаимно уничтожаются и их можно не считать, а 5·144 = 500 + 200 + 20, – не сложно.
Воспользуемся этим приемом и устно найдем сумму:
482 + 492 + 502 + 512 + 522 = 5·502 + 10 = 5·2500 + 10 = 12510.
Усложним:
842 + 872 + 902 + 932 + 962 = 5·8100 + 2·9 + 2·36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.
Ряд Рачинского
Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел
10, 11, 12, 13, 14
более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?
Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение
x2 + (х + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид
(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2.
Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:
x2 – 10x – 11 = 0,
откуда
х1 = 11, x2 = –1.
Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского
10, 11, 12, 13, 14
и ряд
–2, –1, 0, 1, 2.
В самом деле,
(–2)2 +(–1)2 + 02 = 12 + 22.
Два!!!
Закончить я хотел бы светлыми и трогательными воспоминаниями автора авторского блога В. Искры в статье О квадратах двузначных чисел и не только о них…
Когда-то, в году примерно 1962-м, наша «математичка», Любовь Иосифовна Драбкина, дала эту задачу и нам, 7-классникам.
Я тогда очень увлекался только что появившимся КВН-ом. Болел за команду подмосковного города Фрязино. «Фрязинцы» отличались особым умением применять логический «экспресс-анализ» для решения любой задачи, «вытягивания» самого каверзного вопроса.
Быстро посчитать в уме я не мог. Однако, применив «фрязинский» метод, я прикинул, ответ должен выражаться целым числом. Иначе - это уже не «устный счет»! Этим числом не могла быть единица – даже если бы в числителе стояли одинаковые 5 сотен, ответ получался явно больше. С другой стороны, и до числа «3» он явно де дотягивал.
– Два!!! – выпалил я, на секунду опередив моего друга, Леню Струкова, лучшего математика нашей школы.
– Да, действительно два, – подтвердил Леня.
– Как Вы считали? – спросила Любовь Иосифовна.
– Я никак не считал. Интуиция – ответил я под хохот всего класса.
– Если не считал – ответ не считается – «скаламбурила» Любовь Иосифовна. Леня, а ты тоже не считал?
– Нет, почему же, степенно ответил Леня. Надо было сложить 121, 144, 169 и 196. Я попарно сложил числа первое и третье, второе и четвертое. Так удобнее. Получилось 290+340. Общая сумма, включая первую сотню – 730. Делим на 365 – получаем 2.
– Молодец! Но на будущее запомните – в ряду двузначных чисел – у первых пяти его представителей – есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции…
* * *
…Прошли годы. Наш город обзавелся своим «Чудом Света» – мозаичными картинами в подземных переходах. Переходов было много, картин – еще больше. Темы были самыми разными – оборона Ростова, космос… В центральном переходе, под перекрестком Энгельса (сейчас – Большая Садовая) – Ворошиловский сделали целую панораму об основных этапах жизненного пути советского человека – родильный дом – детский сад - школа, выпускной бал…
На одной из «школьных» картин можно было увидеть знакомую сцену – решение задачи… Назовем ее так: «Задача Рачинского»…
…Проходили годы, проходили люди… Веселые и грустные, молодые и не очень. Кто-то вспоминал свою школу, кто-то при этом «шевелил мозгами»…
Замечательно поработали мастера-плиточники и художники, которыми руководил Юрий Никитович Лабинцев!
Сейчас «ростовское чудо» «временно недоступно». На первый план вышла торговля – в прямом и переносном смысле. Все же, будем надеяться, что в этом расхожем словосочетании – главным является слово «временно»…
Источники: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра ( Москва, «Наука», 1967), Википедия, авторский блог В.Искры.