Представление целых чисел с помощью числа "пи"
У хорошо известной задачи о том, как записать различные целые числа с помощью четырёх одинаковых чисел (например, четвёрок) существует масса различных разновидностей. В одном из весьма увлекательных вариантов этой задачи, предложенном Ф. Чини, для представления различных целых чисел допускается использовать только число π, знаки сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, а так же символ функции целой части от х (антье от х: [x] – наибольшее целое число, не превосходящее х).
Кроме того, можно пользоваться круглыми скобками, как в алгебре; никакие другие символы не разрешаются. Каждый символ, так же как и само число π, можно использовать любое количество раз, но чем меньше чисел π потребуется, тем лучше.
Например, число 1 можно представить как [√π], а число 3 – ещё проще: как [π]. Предлагается представить таким образом все числа от 1 до 20.
Далее приводятся результаты полученные Чини:
1 = [√π]
2 = [√π] + [√π]
3 = [π]
4 = [π + √π]
5 = [π · √π]
6 = [π + π]
7 = [π√π]
8 = [π · π – √π]
9 = [π · π]
10 = [π · π] + [√π]
11 = [π · π + √π]
12 = [π · π] + [π]
13 = [π · π + π]
14 = [π · π + π + √π]
15 = [π · π] + [π + π]
16 = [π · π + π + π]
17 = [π · π · √π]
18 = [π · π] + [π · π]
19 = [π · π + π · π]
20 = [π · √π] · [π + √π]
Кроме того, он сумел записать все целые числа от 1 до 100, используя в каждом представлении не более четырёх π. Справедливости ради, заметим, что условия не позволяли использовать возведение в степень, что было сделано для представления числа 7, видимо, по причине красоты получившегося равенства или из стремления уменьшить возможное количество использованных π. Число 7 можно было представить так
7 = [π] + [π + √π].
Кроме предложенных возможны, конечно, и другие варианты представлений. Например,
8 = [π + π + √π],
2 = [√π√π],
но количество π то же самое – 3 и 2, соответственно. Можно ли получить качественное улучшение для представлений каких-либо чисел? Да, это возможно. В качестве примеров приведём здесь пять более коротких представлений:
14 = [[π] · (π + √π)]
15 = [π] · [π · √π]
16 = [π · [π] · √π]
18 = [π] · [π + π]
19 = [π · (π + π)].
С допущением к использованию дополнительных действий и математических символов улучшения можно продолжить. Например, если использовать возведение в степень и факториал, то
6 = [π]!
20 = [ππ / √π] = [(π · √π)√π].
Кроме того, если принять, как это обычно делается, что
–[–π] = 4,
то возможны и дальнейшие упрощения, а именно:
2 = –[–√π]
4 = –[–π]
8 = –[–π] – [–π]
10 = –[–π · π]
11 = [(–[–π])√π]
12 = –[–π] · [π]
13 = –[π · [–π]]
16 = [–π] · [–π].
Существует мнение, что можно подобрать такую систему математических символов, что любое натуральное число можно будет представить с помощью всего лишь трёх символов π.
По материалам: М. Гарднер. Крестики-нолики (Москва, "Мир", 1988).