И вновь о средних...
Известно, что для любых положительных чисел a и b верно
| 2 | ≤ √ab ≤ | a + b | , |
| 1/а + 1/b | 2 |
где первое выражение называют средним гармоническим, второе – средним геометрическим (пропорциональным), третье – средним арифметическим двух чисел.
Докажем эти неравенства, для чего воспользуемся следующими геометрическими соображениями.
Пусть a и b – основания равнобокой трапеции ABCD. Так как
четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны,
то достаточно взять боковые стороны трапеции равными
| a + b | , |
| 2 |
чтобы в трапецию ABCD можно было вписать окружность:
Тогда для высоты трапеции ВН верно:
| BH2 = AB2 – AH2 = ( | a + b | )2 – ( | a – b | )2 = ab, |
| 2 | 2 |
| BH = √ab . |
В прямоугольном треугольнике АВН с высотой HG проведённой к гипотенузе АВ, для катета ВН имеем:
| BH = √BG · AB, |
|
BH2 = BG · AB, |
тогда
| BG = | BH2 | = | ab | = | 2 | = | 2 |
| AB | (a + b)/2 | (a + b)/ab | 1/a + 1/b |
Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то
BG < BH (смотрите треугольник BGH)
BH < AB (смотрите треугольник ABH)
и
BG < BH < AB.
Очевидно, что
BG = BH = AB
при условии, что ABCD – квадрат и, как следствие, a = b.
Таким образом,
| 2 | ≤ √ab ≤ | a + b | , |
| 1/а + 1/b | 2 |
причём равенство достигается при a = b, что и требовалось доказать.
Смотрите так же: