Два двузначных числа
Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры. Действительно,
46 · 96 = 4416 = 64 · 69.
Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?
Обозначив цифры искомых чисел через х и y, z и t, составляем уравнение
(10x + y)(10z + t) = (10y + x)(10t + z).
Раскрыв скобки, получаем после упрощений:
xz = yt,
где х, y, z, t - целые числа, меньшие 10. Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:
1 · 4 = 2 · 2
2 · 8 = 4 · 4
1 · 6 = 2 · 3
2 · 9 = 3 · 6
1 · 8 = 2 · 4
3 · 8 = 4 · 6
1 · 9 = 3 · 3
4 · 9 = 6 · 6
2 · 6 = 3 · 4
Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел. Например, из равенства 1 · 4 = 2 · 2 составляем одно решение:
12 · 42 = 21 · 24.
Из равенства 1 · 6 = 2 · 3 находим два решения:
12 · 63 = 21 · 36 и 13 · 62 = 31 · 26.
Таким образом разыскиваем следующие 14 решений:
12 · 42 = 21 · 24 23 · 96 = 32 · 69
12 · 63 = 21 · 36 24 · 63 = 42 · 36
12 · 84 = 21 · 48 24 · 84 = 42 · 48
13 · 62 = 31 · 26 26 · 93 = 62 · 39
13 · 93 = 31 · 39 34 · 86 = 43 · 68
14 · 82 = 41 · 28 36 · 84 = 63 · 48
23 · 64 = 32 · 46 46 · 96 = 64 · 69
Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970)