Декартова система координат
Загрузка ...
Координаты на плоскости и в пространстве
Координаты точки деления отрезка в данном отношении
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Взаимное расположение двух плоскостей
| Ось — прямая линия с указанным на ней направлением. | |
| Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка. | |
| На плоскости Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта. Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (xA; yA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат. Ax(xA; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox; Ay (0; yA)— проекция точки А на координатную ось Oу. | |
| В пространстве Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта. Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (xA; yA; zA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат. Ax (xA; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox; Ay (0; yA; 0) — проекция точки А на координатную ось Oу; Az (0; 0; zA) — проекция точки А на координатную ось Oz; Axy (xA; yA; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy; Axz (xA; 0; zA) — проекция точки А на плоскость Oxz; Ayz ( 0; yA; zA) — проекция точки А на плоскость Oyz. |
| На плоскости | В пространстве |
| $$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )^2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )^2}$$ | $$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )^2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )^2+\left ( z_{A}-z_{B} \right )^2}$$ |
| Общее правило вычисления расстояния между точками (длины отрезка): Расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат. |
| На плоскости | В пространстве |
| $$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$$ | $$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2};$$$$z_{C}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$$ |
| Общее правило вычисления координат середины отрезка: Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов. |
| На плоскости | В пространстве |
| $$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$ | $$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$$$z_{L}=\frac{m_{2}z_{A}+m_{1}z_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$ |
| Общее уравнение прямой | Уравнение прямой с угловым коэффициентом | Уравнение прямой в отрезках |
| $$ax+by+c=0$$$$a\ne0,~b\ne0$$ | $$y=kx+b$$$$k = tg~\alpha $$ | $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$$$a\ne0,~b\ne0$$ |
| Уравнение прямой, проходящей через две данные точки | Уравнение прямой с данным нормальным вектором и проходящей через данную точку | Уравнение прямой с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку |
| $$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$ | $$P(x-x_A)+Q(y-y_A)=0$$$$\overline{n}(P; Q)$$ | $$\frac{x-x_A}{p}=\frac{y-y_A}{q}$$$$\overline{m}(p;q)$$ |
| Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой | Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой | Уравнение прямой, проходящей через начало отсчёта |
| $$\frac{y-y_A}{x-x_A}=-\frac{1}{k}$$ | $$\frac{y-y_A}{x-x_A}=k$$ | $$ax+by=0$$$$a\ne0,~b\ne0$$ |
| Уравнение прямой,параллельной оси Ох | Уравнение прямой,параллельной оси Оу |
| $$by+c=0$$$$Ox:~y=0$$ | $$ax+c=0$$$$Oy:~x=0$$ |
| $$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$ | |
| $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$$ | $$a_1 a_2+b_1 b_2=0$$ |
| $$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$ | |
| $$k_1=k_2;~(b_1\ne b_2)$$ | $$k_1 k_2=-1$$ |
| Уравнения прямых | $$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$ | $$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$ |
| Условие пересечения прямых | $$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$$ | $$k_1\ne k_2$$ |
| Координаты точки пересечения прямых | $$x_A=-\frac{c_1 b_2-c_2 b_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$y_A=-\frac{a_1 c_2-a_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$ | $$x_A=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}~~~~~~$$$$y_A=\frac{k_1 b_2-k_2 b_1}{k_1-k_2}$$ |
| Угол между пересекающимися прямыми | $$tg~\alpha =\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}$$ | $$tg~\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$ |
| С центром в начале координат О(0; 0) $$x^2+y^2=R^2$$ | С центром в точке О(xO; yO) $$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=R^2$$ |
| С центром в начале координат О(0; 0; 0) $$x^2+y^2+z^2=R^2$$ | С центром в точке О(xO; yO; zO) $$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=R^2$$ |
| Общее уравнение плоскости:$$\alpha :~~ax+by+cz+d=0$$где первые три коэффициента равны координатам вектора $$\overline{n}(a; b; c)$$перпендикулярного к плоскости α и удовлетворяют условию$$a^2+b^2+c^2\ne0$$то есть, не равны нулю одновременно. | |
| Уравнение плоскости, проходящей через точку L(xL; yL; zL) и перпендикулярной к вектору$$\overline{n}(a; b; c)$$$$\alpha :~~a(x-x_L)+b(y-y_L)+c(z-z_L)=0$$или$$\alpha :~~ax+by+cz=ax_L+by_L+cz_L.$$ | |
| Уравнение плоскости в отрезках:$$\alpha :~~\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (имеются в виду соответствующие координаты концов отрезков, а не их длины). При этом должно выполняться$$a\ne0,~b\ne0,~c\ne0.$$ | |
| Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:$$\alpha :~~ax+by+cz=0$$ | |
| Уравнение плоскости, параллельной координатной оси:$$\alpha ||Ox:~~by+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oy:~~ax+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oz:~~ax+by+d=0.$$ | |
| Уравнение плоскости, проходящей через координатную ось:$$Ox\subset\alpha :~~by+cz=0;$$$$Oy\subset\alpha :~~ax+cz=0;$$$$Oz\subset\alpha :~~ax+by=0.$$ | |
| Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости и самих координатных плоскостей:$$\alpha ||Oxy:~~cz+d=0;~~~~~Oxy:~~z=0;$$$$\alpha ||Oxz:~~by+d=0;~~~~~Oxz:~~y=0;$$$$\alpha ||Oyz:~~ax+d=0;~~~~~Oyz:~~x=0.$$ |
$$\alpha_1 :~~a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$$$$\alpha_2 :~~a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$
Условие параллельности плоскостей: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$При$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$$плоскости совпадают. | |
Условие перпендикулярности плоскостей: $$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.$$ | |
Угол между плоскостями (меньший из возможных):$$\cos \varphi =\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$$ |
Арифметический корень n-й степени
Построение графиков функций геометрическими методами
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Таблицы значений тригонометрических функций