Буддистский монах в фиксированной точке
Однажды утром, ровно на восходе солнца, буддистский монах начал подниматься на высокую гору. Узкая тропинка шириной всего фут или два извивалась вокруг горы, ведя к храму, стоящему на самой вершине.
Поднимаясь, монах шел по тропинке с переменной скоростью, много раз останавливался по пути, чтобы отдохнуть и съесть сушеный плод, который он нес с собой. Он достиг храма почти перед самым закатом. После нескольких дней поста и медитации, монах тронулся в обратный путь. Он опять вышел ровно на восходе солнца, шел по той же дорожке, двигался с переменной скоростью, часто отдыхал в пути. Средняя скорость его спуска была, конечно же, выше средней скорости подъема.
Докажите, что на этой дорожке есть место, куда монах попадет в обоих случаях точно в одно и то же время дня.
Доказательство
Итак, человек поднимается в гору в один день, а спускается в другой. Есть ли на этой дороге место, в котором он окажется в одно и то же время дня в обоих случаях?
Эта задача взята из книги Мартина Гарднера (1914 – 2010) "Новые математические развлечения". На эту задачу внимание автора обратил психолог Рэй Химан из Орегонского университета, который в свою очередь обнаружил ее в монографии "Вопросы и ответы" (On Problem-Solving) немецкого психолога Карла Дункера. Дункер пишет о том, что он не смог сразу решить эту задачу, но потом с удовольствием наблюдал, как другие люди, которым он предлагал эту головоломку, сталкивались с похожими трудностями. Есть много способов доказательства, продолжает он, но вероятно нет более очевидного, чем следующий.
Пусть подъем и спуск осуществляют два человека в один и тот же день. Они должны встретиться. Следовательно, в таком подходе нечеткие и плохо понятные условия сразу превращаются в ясную как день ситуацию.
Решение, безусловно, остроумное. Дадим ему математическую иллюстрацию. Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой вдоль оси абсцисс будем откладывать время, в течение которого монах был в пути, а вдоль оси ординат – некоторую условную координату, выражающую месторасположение монаха на тропинке. При этом ноль на оси ординат соответствует подножию горы и при подъеме и при спуске, а ноль на оси абсцисс – началу пути в обоих случаях.
В такой системе координат подъему монаха соответствует график некоторой монотонной неубывающей функции s1(t), а спуску – график монотонной невозрастающей функции s2(t), которые, как видно из рисунка обязательно пересекаются. Точка с координатами (T; S) как раз соответствует моменту времени Т, в который и при подъеме, и при спуске монах окажется в одном и том же месте S.
Отметим, что место, в котором путник окажется в одно и то же время дня в обоих случаях единственно, а вот момент времени, вообще говоря, – нет. Этому соответствует случай, когда графики s1(t) и s2(t) "пересекутся" горизонтальными участками, которые соответствуют остановкам.
Смотрите так же: