Уравнения

При решении и исследовании олимпиадных уравнений, помимо обычных школьных методов:

• подстановки,
• замены переменкой,
• разложения на множители и других преобразований,

иногда используются соображения монотонности:

если функция у = f (x) – строго возрастает или строго убывает, то уравнения

f (p (x)) = f ( q (x))  и  p (x) = q (x)

равносильны.

При решении уравнений и систем уравнений иногда бывают полезны:

• геометрическая интерпретация,
• учёт области допустимых значений переменной или области значений функций, входящих в уравнение,
• соображения симметрии,
• идеи цикличности,
• выход на линейную комбинацию между переменными  и др.

1. Решить уравнение:

а) (1 + х + х²) (1 + х + х² + . . . + х¹⁰) = (1 + х + х² + . . . + х⁶)².

б) (x² – x + 1)⁴ – 10x² (x² – x + 1)² + 9x⁴ = 0.

в) (x + 1)⁶³ + (x + 1)⁶² (x – 1) + (x + 1)⁶¹ (x – 1)² + . . . + (x – 1)⁶³ = 0.

а) Так как х = 1 – не корень, то умножим обе части уравнения на (х – 1)². Получим:

(х³ – 1) (х¹¹ – 1) = (х⁷ – 1)²,

х¹¹ – 2х⁷ + х³ = 0,

х³ (х⁴ – 1)² = 0,

х₁ = 0,

х₂ = –1,

х₃ = +1 – посторонний корень, возникший в результате умножения на (х – 1)².

Ответ: 0 и –1.

б) Пусть  y = (x² – x + 1)²,  тогда  y² – 10x²y + 9x⁴ = 0.  Решив это уравнение относительно y, получим:  

y₁ = 9x²,  y₂ = x². 

Итак, данное уравнение свелось к двум следующим:

(x² – x + 1)² = 9x²  и  (x² – x + 1)² = x²,

то есть к четырём квадратным уравнениям: 

x² – x + 1 = 3x,  x² – x + 1 = – 3x,  x² – x + 1 = x,  x² – x + 1 = – x,

решить которые не представляет труда. 

Ответ:  –1, 1,  2 – √3,  2 + √3.

в) Умножив обе части уравнения на

(x + 1) – (x – 1) = 2, 

получим  

(x + 1)⁶⁴ – (x – 1)⁶⁴ = 0. 

Отсюда  

(x + 1) = ± (x – 1), 

то есть  x = 0.

Ответ: x = 0.

2. Решить уравнение:

sin x = х² + х + 1.

Если х₀ не принадлежит числовому промежутку [–1; 0], то  х₀² + х₀ + 1 > 1 > sin х₀.

Если же х₀ принадлежит промежутку [–1; 0], то  х₀² + х₀ + 1 > 0,  а  sin х₀ < 0.

Значит, для любого действительного значения х₀ имеет место  sin х₀ < х₀² + х₀ + 1,  и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3. Сколько корней имеет уравнение:

(7√10 + 5√11) х² – (10√10 + 13√11) х + 4√10 + 7√11 = 0?

Рассмотрим функцию

f (x) = (7√10 + 5√11) х² – (10√10 + 13√11) х + 4√10 + 7√11.

Это квадратичная функция, графиком которой есть парабола, направленная ветвями вверх. Так как

f (1) = √10 – √11 < 0,

то парабола пересекает ось х в двух точках, а уравнение f (x) = 0 имеет два корня.

Ответ: два корня.

4. Известно, что уравнение  ax⁵ + bx⁴ + c = 0  имеет три различных корня. Докажите, что и  уравнение  cx⁵ + bx + a = 0  также имеет три различных корня.

Число  x = 0  не может быть корнем уравнения  

ax⁵ + bx⁴ + c = 0,

так как иначе  c = 0,  и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию. Разделив обе части этого уравнения на x⁵, получаем, что

a + ^b/_x + ^c/_x⁵ = 0.

Следовательно, если x₁, x₂ и x₃ – различные корни уравнения  ax⁵ + bx⁴ + c = 0,  то ¹/_x1, ¹/_x2 и ¹/_x3 – различные корни уравнения  

cx⁵ + bx + a = 0.

5. При каком положительном значении p уравнения  3x² – 4px + 9 = 0  и  x² – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

Общий корень указанных уравнений должен быть и корнем уравнения  

(3x² – 4px + 9) – 3(x² – 2px + 5) = 0,

равносильного уравнению

2px – 6 = 0.

Значит, х = ³/_p.  Подставив это значение х, например, во второе уравнение, получим  ⁹/_p² = 1,  откуда  p = 3.

Ответ: 3. 

6. Решить уравнение:

5^х + 12^х = 13^х.

Способ 1.

Легко заметить, что, по крайней мере, одно решение это уравнение имеет, это х = 2. Докажем, что других решений нет. Запишем данное уравнение в виде:

(⁵/₁₃)^x + (¹²/₁₃)^x = 1.

Если x < 2, то

(⁵/₁₃)^х > (⁵/₁₃)²,  (¹²/₁₃)^х > (¹²/₁₃)²

и, следовательно,

(⁵/₁₃)^x + (¹²/₁₃)^x > (⁵/₁₃)² + (¹²/₁₃)² = 1.

Аналогично, если x > 2, то

(⁵/₁₃)^x + (¹²/₁₃)^x < (⁵/₁₃)² + (¹²/₁₃)² = 1.

Итак, х = 2 – единственный корень.

Способ 2.

Записав уравнение в виде

(⁵/₁₃)^x + (¹²/₁₃)^x = 1,

видим, что имеет единственное решение х = 2. Действительно, число х = 2  удовлетворяет   уравнению. С другой стороны, функция

f (х) = (⁵/₁₃)^x + (¹²/₁₃)^x

является строго убывающей, потому что является суммой двух строго убывающих функций, и, следова­тельно, значение 1 принимает только один раз при х = 2.

Способ 3.

Можно ввести обозначения:

⁵/₁₃ = sin α,  ¹²/₁₃ = cos α.

Тогда уравнение

(⁵/₁₃)^x + (¹²/₁₃)^x = 1,

равносильное исходному, примет следующий вид:

(sin α)^x + (cos α)^x = 1,

а это уравнение имеет единственное решение х = 2.

Ответ: 2.

7. Решить уравнение:

а) 8^х (3х + 1) = 4.

б) 4 ^{lg x} – 32 + x ^{lg 4} = 0.

а) Число х = ¹/₃ является решением данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

При х > – ¹/₃ функции

у₁ (х) = 8^х  и  у₂ (х) = 3х + 1

принимают положительные значения и возрастают, следовательно, их произведение (левая часть уравнения) также является возрастающей функцией.

Поэтому на промежутке (– ¹/₃; + ∞) уравнение не может иметь более одного решения.

Далее, при х < – ¹/₃ имеем у₁(х) > 0, у₂(х) < 0, а значит,  у₁(х) · у₂(х) < 0.  

Поэтому на промежутке (– ∞; – ¹/₃] уравнение не имеет решений. Таким образом, получаем единственное решение: ¹/₃.

Ответ: ¹/₃. 

б) Область допустимых значений х является  х > 0  и х ≠ ±1.  Имеет место

4 ^{lg x} = x ^{lg 4} .

Для доказательства этого равенства достаточно прологарифмировать обе части равенства по основанию 10. В таком случае

4 ^{lg x} – 32 + 4 ^{lg x} = 0,

4 ^{lg x} = 16,

4 ^{lg x} = 4²,

lg x = 2,

х = 100.

Ответ: 100.

8. Докажите, что уравнение :

а) х¹⁰ – х⁷ + х² – х + 1 = 0  не имеет действительных корней;

б) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0  для любых действительных значений a, b, c имеет хотя бы одно решение;

в) х⁴ + 5х³ + 6х² – 4х – 16 = 0  имеет ровно два решения.

а) Рассмотрим функцию

f (х) = х¹⁰ – х⁷ + х² – х + 1.

При х₀ ∈ (– ∞; 0] имеем f (х₀) > 0.

При х₀ ∈ (0; 1) имеем f (х₀) = (1 – х₀) + (х₀² – х₀⁷) + х₀¹⁰ > 0.

При х₀ ∈ [1; + ∞) имеем f (х₀) = (х₀¹⁰ – х₀⁷) + (х₀² – х₀) + 1 > 0.

Значит для любого действительного х₀ верно, что f (х₀) > 0 и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

б) Обозначим

f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Без ограничения общности можно считать, что а < b < с.

Если а = b или b = с, то  f (b) = (b – c)(b – a) = 0.

Если же а < b < с, то f (b) < 0 и f (а) = (а – b)(а – c) > 0.

Так как функция f(x) непрерывна, то существует такое число х₀ из промежутка (а; b), что

f(x₀) = 0,

что и требовалось доказать.

Замечание. Это уравнение можно встретить в задаче с несколько иной формулировкой на странице Квадратный трёхчлен.

в) Докажем, что функция

f (x) = х⁴ + 5х³ + 6х² – 4х – 16

принимает значение 0 ровно в двух точках. Для этого исследуем производную этой функции

f′(x) = 4х³ + 15х² + 12х – 4 = (x + 2)²(4х – 1).

При х < –2 и при –2 < х < ¹/₄ имеет место неравенство f′(x) < 0,

при х > ¹/₄ – неравенство f′(x) > 0. Поэтому функция f(x) убывает па интервале (– ∞; ¹/₄) и возрастает на интервале (¹/₄; + ∞).

Поскольку

f (–10) > 0,  f (10) > 0  и  f (¹/₄) < f (0) < 0,

то на каждом из двух указанных интервалов функция f (х) однажды принимает значение 0, а уравнение f (х) = 0 имеет ровно два решения, что и требовалось доказать.

9. Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение  8x (1 – 2x²) (8x⁴ – 8x² + 1) = 1?

Заметим, что  

8x⁴ – 8x² + 1 = 2(2x² – 1)² – 1. 

Сделав замену  x = cos φ, исходное уравнение перепишем в виде: 

8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.

Умножая обе части на sin φ, получим 

sin 8φ = – sin φ, 

8φ = – φ + 2kπ  или  8φ = π + φ + 2kπ,

то есть

x = cos ^2kπ/₉   или   x = cos (^π/₇ + ^2kπ/₇). 

На отрезке  [0, 1]  лежат четыре корня уравнения:  

cos ^2π/₉, cos ^4π/₉, cos ^π/₇  и  cos ^3π/₇

(корень  x = 1  – посторонний, он возник при умножении на sin φ).

Замечание: Всего указанное уравнение 7-й степени имеет 7 корней: к указанным в решении добавляются еще 

cos ^2π/₃ = – ½,  cos ^8π/₉ = – cos ^π/₉  и  cos ^5π/₇ = – cos ^2π/₇. 

Ответ: Четыре корня.

10. Решить уравнение:

а) х⁴ + 8х³ + 18х² + 11х + 2 = 0:

б) х⁴ – 4х³ – 1 = 0.

а) Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:

х⁴ + 8х³ + 18х² + 11х + 2 = (х² + ах + b) (х² + cх + d),

где a, b, c, d подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:

х⁴ + 8х³ + 18х² + 11х + 2 = х⁴ + (a + c) x³ + (b + d + ac) x² + (ad + bc) x + bd.

Одно из решений системы

a + c = 8,

b + d + ac = 18,

ad + bc = 11,

bd = 2;

подбираем методом подбора:

a = 5, b = 2, c = 3, d = 1,

(находить все её решения не обязательно). Значит,

х⁴ + 8х³ + 18х² + 11х + 2 = (х² + 5х + 2) (х² + 3х + 1),

а исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

х² + 5х + 2 = 0  и  х² + 3х + 1 = 0,

решение которых элементарно.

Ответ: х_1,2 = ^{–5 ±√17}/₂,  х_3,4 = ^{–3 ±√5}/₂.

б) Введём новую переменную

t = x – 1,  x = t + 1,

и получим

(t + 1)⁴ – 4(t + 1)³ – 1 = 0,

t⁴ – 6t² – 8t – 4 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:

t⁴ – 6t² – 8t – 4 = (t² + а)² – (bt + c)²,

где a, b, c подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:

t⁴ – 6t² – 8t – 4 = t⁴ + (2a + b²) t² – 2bc t + a² – c².

Найдём одно из решений системы

2a – b² = –6,

bc = 4,

a² – c² = –4.

Решая эту систему находим:

а = –2,  b = √2,  с = 2√2 .

Значит,

t⁴ – 6t² – 8t – 4 = (t² – 2)² – (√2t + 2√2)² = (t² – √2t – 2√2 – 2) (t² + √2t + 2√2 – 2) = 0,

а уравнение

t⁴ – 6t² – 8t – 4 = 0

равносильно совокупности уравнений:

t² – √2t – 2√2 – 2 = 0  и  t² + √2t + 2√2 – 2 = 0,

первое из которых имеет корни:

t_1,2 = ^{√2 ± √10 + 8√2}/₂ ,

а второе корней не имеет.

И, наконец, x_1,2 = t_1,2 + 1 = ^{√2 ± √10 + 8√2}/₂ + 1 =  ^{2 + √2 ± √10 + 8√2}/₂ .

Ответ: x_1,2 = ^{2 + √2 ± √10 + 8√2}/₂.

1. Решить уравнение  2 sin х = 5х² + 2х + 3.

2. Решить уравнение  x³ + x² + x + ¹/₃ = 0.

3. Решить уравнение  ⁴√1 – x + ⁴√1 + x = 4.

4. Сколько действительных корней имеет уравнение  х¹³ = а (1 + х¹⁴)  для каждого действительного а?

5. Доказать, что уравнение  x – а sin x – b = 0  при 0 < a < 1, b ∈ R имеет не более одного действительного корня.